Anh An muốn di chuyển từ vị trí \[A\] đến điểm \[B\] càng nhanh càng tốt (như hình vẽ). Để di chuyển từ vị trí \[A\] đến điểm \[B\] anh An có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến \[C\] và sau đó chạy đến \[B\], hay có thể chèo thuyền trực tiếp đến \[B\], hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm \[D\] nằm giữa \[B\] và \[C\] sau đó chạy đến \[B\]. Biết anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc \[6{\rm{km/h}}\], chạy với vận tốc \[8{\rm{km/h}}\], \[AC = 3{\rm{km}},\,\,BC = 8{\rm{km}}\] và vận tốc dòng nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An. Tìm khoảng thời gian nhanh nhất (đơn vị: giờ) để anh An đến \[B\] (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Gọi khoảng cách từ điểm hạ cánh \(D\) đến điểm \(C\) là \(CD = x{\rm{\;(km)}}\) với \(0 \le x \le 8\).

Khi đó, độ dài quãng đường chèo thuyền trên biển của anh An là đoạn thẳng \(AD\). Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ACD\): \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{3^2} + {x^2}} = \sqrt {9 + {x^2}} {\rm{\;(km)}}\).

Thời gian anh An chèo thuyền từ \(A\) đến \(D\) là: \({t_1} = \frac{{AD}}{6} = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6}\) (giờ).

Quãng đường còn lại anh An chạy bộ dọc theo bờ biển từ \(D\) đến \(B\) có độ dài là:

\(DB = BC - CD = 8 - x{\rm{\;(km)}}\).

Thời gian anh An chạy bộ từ \(D\) đến \(B\) là: \({t_2} = \frac{{DB}}{8} = \frac{{8 - x}}{8}\) (giờ).

Tổng thời gian di chuyển từ \(A\) đến \(B\) của anh An là một hàm số theo biến \(x\):

\(f\left( x \right) = {t_1} + {t_2} = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8},\,\,\,x \in \left[ {0;8} \right]\).

Để tìm thời gian di chuyển ngắn nhất, ta tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\): \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8}\).

Cho đạo hàm bằng \(0\) để tìm điểm cực trị:

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow 8x = 6\sqrt {9 + {x^2}} \Leftrightarrow 4x = 3\sqrt {9 + {x^2}} \).

Bình phương hai vế với điều kiện \(x \ge 0\):

\(16{x^2} = 9\left( {9 + {x^2}} \right) \Leftrightarrow 16{x^2} = 81 + 9{x^2} \Leftrightarrow 7{x^2} = 81 \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }} \approx 3,40{\rm{\;(km)}}\).

Giá trị \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\) thuộc đoạn \(\left[ {0;8} \right]\). Ta tính và so sánh giá trị thời gian tại các điểm biên và điểm cực trị:

Tại điểm đầu mút \(x = 0\): \(f\left( 0 \right) = \frac{3}{6} + \frac{8}{8} = 0,5 + 1 = 1,5\) giờ.

Tại điểm đầu mút \(x = 8\): \(f\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {9 + 64} }}{6} + \frac{0}{8} = \frac{{\sqrt {73} }}{6} \approx 1,42\) giờ.

Tại điểm cực trị \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\): \(f\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = \frac{{\sqrt {9 + \frac{{81}}{7}} }}{6} + \frac{{8 - \frac{9}{{\sqrt 7 }}}}{8} = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx 1,33\) giờ.

So sánh ba giá trị trên, thời gian nhỏ nhất để anh An đến được điểm B là \(1,33\) giờ.

Đáp số: \(1,33\).