Đợt nộp hồ sơ dự thi tốt nghiệp THPT quốc gia thường kéo dài \(1\) tháng (\(30\) ngày). Nhà trường nhận thấy số lượng hồ sơ mà học sinh nộp tính theo ngày thứ \(t\) được cho công thức \(P\left( t \right) = \frac{1}{{50}}{t^3} - \frac{3}{2}{t^2} + 36t - 270\) (hồ sơ) với \(1 \le t \le 30\). Biết \(t \in \left( {a;b} \right)\)thì số lượng hồ sơ mà học sinh nộp tăng lên. Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{b}{{3a}}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?  

_____

a) Sai. Dựa vào bảng biến thiên, tại \(x = 1\) hàm số không xác định. Vậy tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

b) Đúng. Tại \[x = - 1\], hàm số có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \[x = - 1\] và giá trị cực tiểu của hàm số là \(f\left( { - 1} \right) = 2\).

c) Đúng. Đạo hàm \(y'\) đổi dấu 2 lần khi đi qua các điểm \(x = - 1\) và \(x = 3\).

d) Sai. Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), đạo hàm mang dấu dương \(\left( - \right)\) nên hàm số nghịch biến. Vì \(4 < 10\) nên ta có \(f\left( 4 \right) > f\left( {10} \right)\).

Gọi khoảng cách từ điểm hạ cánh \(D\) đến điểm \(C\) là \(CD = x{\rm{\;(km)}}\) với \(0 \le x \le 8\).

Khi đó, độ dài quãng đường chèo thuyền trên biển của anh An là đoạn thẳng \(AD\). Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ACD\): \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{3^2} + {x^2}} = \sqrt {9 + {x^2}} {\rm{\;(km)}}\).

Thời gian anh An chèo thuyền từ \(A\) đến \(D\) là: \({t_1} = \frac{{AD}}{6} = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6}\) (giờ).

Quãng đường còn lại anh An chạy bộ dọc theo bờ biển từ \(D\) đến \(B\) có độ dài là:

\(DB = BC - CD = 8 - x{\rm{\;(km)}}\).

Thời gian anh An chạy bộ từ \(D\) đến \(B\) là: \({t_2} = \frac{{DB}}{8} = \frac{{8 - x}}{8}\) (giờ).

Tổng thời gian di chuyển từ \(A\) đến \(B\) của anh An là một hàm số theo biến \(x\):

\(f\left( x \right) = {t_1} + {t_2} = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8},\,\,\,x \in \left[ {0;8} \right]\).

Để tìm thời gian di chuyển ngắn nhất, ta tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\): \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8}\).

Cho đạo hàm bằng \(0\) để tìm điểm cực trị:

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow 8x = 6\sqrt {9 + {x^2}} \Leftrightarrow 4x = 3\sqrt {9 + {x^2}} \).

Bình phương hai vế với điều kiện \(x \ge 0\):

\(16{x^2} = 9\left( {9 + {x^2}} \right) \Leftrightarrow 16{x^2} = 81 + 9{x^2} \Leftrightarrow 7{x^2} = 81 \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }} \approx 3,40{\rm{\;(km)}}\).

Giá trị \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\) thuộc đoạn \(\left[ {0;8} \right]\). Ta tính và so sánh giá trị thời gian tại các điểm biên và điểm cực trị:

Tại điểm đầu mút \(x = 0\): \(f\left( 0 \right) = \frac{3}{6} + \frac{8}{8} = 0,5 + 1 = 1,5\) giờ.

Tại điểm đầu mút \(x = 8\): \(f\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {9 + 64} }}{6} + \frac{0}{8} = \frac{{\sqrt {73} }}{6} \approx 1,42\) giờ.

Tại điểm cực trị \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\): \(f\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = \frac{{\sqrt {9 + \frac{{81}}{7}} }}{6} + \frac{{8 - \frac{9}{{\sqrt 7 }}}}{8} = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx 1,33\) giờ.

So sánh ba giá trị trên, thời gian nhỏ nhất để anh An đến được điểm B là \(1,33\) giờ.

Đáp số: \(1,33\).