Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC.\) Kẻ \(MD \bot AB\) tại \(D,\) \(ME \bot AC\) tại \(E.\)

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat C = \widehat D.\)

Vì \(DB\) là tia phân giác góc \(D\) nên \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = \frac{1}{2}\widehat D.\)

Suy ra \(\widehat C = 2\widehat {{D_2}}.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\) (so le trong). Do đó \(\widehat C = 2\widehat {{B_1}}.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) dễ dàng chứng minh được \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {{B_1}} + \widehat {DBC} + 2\widehat {{B_1}} = 180^\circ \)

\(3\widehat {{B_1}} + 90^\circ = 180^\circ \)

\[3\widehat {{B_1}} = 90^\circ \]

\[\widehat {{B_1}} = 30^\circ \]

Suy ra \[\widehat D = \widehat C = 60^\circ .\]

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).

Khi đó \(\Delta OCD\) có \[\widehat D = \widehat C = 60^\circ \] nên là tam giác đều.

Suy ra \(OD = OC = CD.\)

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC.\)

Lại có \(\Delta ABD\) cân tại \(A\) (do \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) vì cùng bằng \(\widehat {{D_2}})\) nên \(AB = AD\)

Suy ra \(AB = AD = BC = 3\) cm.

Vì \(OD = OC\) và \(AD = BC\) nên \(OA = OB\).

Xét \(\Delta OAB\) có \(OA = OB\) và \(\widehat O = 60^\circ \) nên \(\Delta OAB\) là tam giác đều.

Suy ra \(OA = OB = AB = 3\) (cm).

Khi đó \(OD = OA + AD = 3 + 3 = 6\) (cm) nên \(CD = 6\) (cm).

Chu vi của hình thang \(ABCD\) là

\(AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 18\) cm.

Đáp án:

Vì tia \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {DAM}\) nên \(\widehat {DAI} = \widehat {IAH}.\)

Xét \(\Delta ADI\) vuông tại \(D\) và \(\Delta AHI\) vuông tại \(H\) có:

\(AI\) là cạnh huyền chung và \(\widehat {DAI} = \widehat {IAH}\)

Do đó \(\Delta ADI = \Delta AHI\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AD = AH.\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AD = AB,\) do đó \(AH = AB.\)

Xét \(\Delta AHK\) vuông tại \(H\) và \(\Delta ABK\) vuông tại \(B\) có:

\(AK\) là cạnh huyền chung và \(AH = AB\)

Do đó \(\Delta AHK = \Delta ABK\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {HAK} = \widehat {BAK}.\)

Ta có \(\widehat {IAK} = \widehat {IAH} + \widehat {HAK}.\)

Khi đó \(2\widehat {IAK} = 2\widehat {IAH} + 2\widehat {HAK} = \widehat {DAH} + \widehat {HAB} = \widehat {DAB} = 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {IAK} = 45^\circ .\)

Đáp án: 45.