Cho hình vuông \(ABCD\). \(M\) là điểm tùy ý trên cạnh \(DC\). Tia phân giác của \(\widehat {DAM}\) cắt \(CD\) tại \(I\). Kẻ \(IH \bot AM\) tại \(H\) và tia \(IH\) cắt \(BC\) tại \(K\). Hỏi \(\widehat {IAK}\)có số đo là bao nhiêu độ?

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat C = \widehat D.\)

Vì \(DB\) là tia phân giác góc \(D\) nên \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = \frac{1}{2}\widehat D.\)

Suy ra \(\widehat C = 2\widehat {{D_2}}.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\) (so le trong). Do đó \(\widehat C = 2\widehat {{B_1}}.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) dễ dàng chứng minh được \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {{B_1}} + \widehat {DBC} + 2\widehat {{B_1}} = 180^\circ \)

\(3\widehat {{B_1}} + 90^\circ = 180^\circ \)

\[3\widehat {{B_1}} = 90^\circ \]

\[\widehat {{B_1}} = 30^\circ \]

Suy ra \[\widehat D = \widehat C = 60^\circ .\]

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).

Khi đó \(\Delta OCD\) có \[\widehat D = \widehat C = 60^\circ \] nên là tam giác đều.

Suy ra \(OD = OC = CD.\)

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC.\)

Lại có \(\Delta ABD\) cân tại \(A\) (do \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) vì cùng bằng \(\widehat {{D_2}})\) nên \(AB = AD\)

Suy ra \(AB = AD = BC = 3\) cm.

Vì \(OD = OC\) và \(AD = BC\) nên \(OA = OB\).

Xét \(\Delta OAB\) có \(OA = OB\) và \(\widehat O = 60^\circ \) nên \(\Delta OAB\) là tam giác đều.

Suy ra \(OA = OB = AB = 3\) (cm).

Khi đó \(OD = OA + AD = 3 + 3 = 6\) (cm) nên \(CD = 6\) (cm).

Chu vi của hình thang \(ABCD\) là

\(AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 18\) cm.

a) Sai. Tứ giác \(ADME\) có \[\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \] nên \(\widehat M = 90^\circ .\)

Tứ giác có bốn góc vuông chỉ đủ điều kiện để trở thành hình chữ nhật.

b) Đúng. Vì tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật, nên hai đường chéo bằng nhau và giao nhau tại trung điểm, tức là \(AM\) và \(DE\) bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm.

c) Sai. Để hình chữ nhật \(ADME\) trở thành hình vuông, đường chéo \(AM\) phải là đường phân giác của góc \(A.\) Do đó, \(M\) phải là chân đường phân giác, không nhất thiết phải là trung điểm (trừ khi tam giác \(ABC\) vuông cân).

d) Đúng. Ta đã xác định được để \(ADME\) là hình vuông thì \(AM\) phải là đường phân giác của góc \(A.\)

Khi đó \[\widehat {BAM} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\]