Cho a, b, c > 0 và \[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\]. Tìm giá trị lớn nhất của abc.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

\[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\]

Nên \[\frac{1}{{a + 1}} = 1 - \frac{1}{{b + 1}} + 1 - \frac{1}{{c + 1}} = \frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{bc}}{{\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} \]

Tương tự ta có:

\[\frac{1}{{b + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{ac}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} ;\frac{1}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{ab}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}}} \]

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:

\[\frac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}} \ge 8\sqrt {\frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}{{\left( {b + 1} \right)}^2}{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}} = 8 \cdot \frac{{abc}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\]

Nên 1 ≤ 8abc

Do đó \[abc \le \frac{1}{8}\]

Đẳng thức xảy ra khi \[a = b = c = \frac{1}{2}\]

Vậy giá trị lớn nhất của abc là \[\frac{1}{8}\] khi \[a = b = c = \frac{1}{2}\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một giá sách có 2 ngăn. Số sách ngăn dưới gấp 3 lần số sách ngăn trên. Nếu chuyển hai quyển từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì số sách ở ngăn dưới sẽ gấp 4 lần số sách ở ngăn trên. Tính số sách mỗi ngăn?

Xem đáp án

Lời giải

Khi chuyển 2 quyển sách từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì tổng số sách hai ngăn không thay đổi. Lúc đầu, số sách ngăn dưới gấp 3 lần số sách ngăn trên hay bằng 3/4 tổng số sách của hai ngăn. Sau khi chuyển 2 quyển từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì số sách ngăn dưới gấp 4 lần số sách của ngăn trên hay bằng 4/5 tổng số sách của hai ngăn.

2 quyển sách tương ứng với : \[\frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{1}{{20}}\] (Tổng số sách 2 ngăn)

Tổng số sách của hai ngăn là : \[2:\frac{1}{{20}} = 40\] (quyển).

Số sách ở ngăn trên là : 40 : (3 + 1) × 1 = 10 (quyển)

Số sách ở ngăn dưới là : 40 ‒ 10 = 30 (quyển)

Câu 2

Một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 4,5 m; chiều rộng 2,5 m và chiều cao 1,8 m (bể không có nắp đậy)

(a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật.

(b) Bể đó chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước? (1 dm³ = 1 lít)

(c) Trong bể đang có 16,2 m³ nước, tính chiều cao của mức nước trong bể?

Xem đáp án

Lời giải

a) Diện tích xung quanh của bể nước là:

( 4,5 + 2,5) × 2 × 1,8 = 25,2 (m²).

Diện tích toàn phần của bể nước là:

25,2 + (4,5 × 2,5) = 36,45 (m²).

b) Bể đó chứa được nhiều nhất số lít nước là:

4,5 × 2,5 × 1,8 = 20,25 (m³) = 20250 (lít).

c) Chiều cao của mực nước trong bể khi bây giờ bể đang có 16,2 m³ là:

16,2 : 4,5 : 2,5 = 1,44 (m).

Đáp số : a, 25,2 m² và 36,45 m²

b, 20250 lít

Câu 3