Cho a, b, c > 0 và \[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\]. Tìm giá trị lớn nhất của abc.
Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\]
Nên \[\frac{1}{{a + 1}} = 1 - \frac{1}{{b + 1}} + 1 - \frac{1}{{c + 1}} = \frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{bc}}{{\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} \]
Tương tự ta có:
\[\frac{1}{{b + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{ac}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} ;\frac{1}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{ab}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}}} \]
Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:
\[\frac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}} \ge 8\sqrt {\frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}{{\left( {b + 1} \right)}^2}{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}} = 8 \cdot \frac{{abc}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\]
Nên 1 ≤ 8abc
Do đó \[abc \le \frac{1}{8}\]
Đẳng thức xảy ra khi \[a = b = c = \frac{1}{2}\]
Vậy giá trị lớn nhất của abc là \[\frac{1}{8}\] khi \[a = b = c = \frac{1}{2}\]
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1 ha = 1000 m2
Nên \[\frac{1}{4}ha = \frac{1}{4} \times 1000\] m2 = 250 m2.
Lời giải
Khi chuyển 2 quyển sách từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì tổng số sách hai ngăn không thay đổi. Lúc đầu, số sách ngăn dưới gấp 3 lần số sách ngăn trên hay bằng 3/4 tổng số sách của hai ngăn. Sau khi chuyển 2 quyển từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì số sách ngăn dưới gấp 4 lần số sách của ngăn trên hay bằng 4/5 tổng số sách của hai ngăn.
2 quyển sách tương ứng với : \[\frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{1}{{20}}\] (Tổng số sách 2 ngăn)
Tổng số sách của hai ngăn là : \[2:\frac{1}{{20}} = 40\] (quyển).
Số sách ở ngăn trên là : 40 : (3 + 1) × 1 = 10 (quyển)
Số sách ở ngăn dưới là : 40 ‒ 10 = 30 (quyển)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập