Trên một khu đất hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh \(200{\rm{\;m}}\) đang diễn ra một cuộc thi. Mỗi đội thi sẽ điều khiển con robot mà ban tổ chức cung cấp, xuất phát từ chính giữa cạnh \(AB\), đi theo một đường thẳng và đến đích là một điểm bất kỳ trên cạnh \(CD\). Ở chính giữa khu đất là một bãi cát hình chữ nhật có chiều dài \(120{\rm{\;m}}\) và chiều rộng \(80{\rm{\;m}}\). Vận tốc của robot khi đi trên mặt đất là \(3{\rm{\;m/s}}\) còn khi đi trên cát là \(2{\rm{\;m/s}}\). Gọi \(a\) là thời gian (tính theo giây) ngắn nhất mà robot đi đến đích. Khi đó giá trị \(100a\) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Chọn gốc tọa độ \(M\left( {0;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\), trục \(Ox\) trùng với đường thẳng \(AB\) và trục \(Oy\) vuông góc với \(AB\) hướng về phía cạnh \(CD\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).

• Điểm xuất phát của robot là \(M\left( {0;0} \right)\).
• Cạnh \(CD\) nằm trên đường thẳng \(y = 200\). Điểm đích là \(N\left( {{x_0};200} \right)\) với \( - 100 \le {x_0} \le 100\). Do tính chất đối xứng, ta chỉ cần xét \(0 \le {x_0} \le 100\).
• Bãi cát hình chữ nhật đối xứng qua trục \(Oy\), giới hạn bởi:
  • Chiều rộng (nằm ngang): từ \(x = - 40\) đến \(x = 40\).
  • Chiều dài (thẳng đứng): từ \(y = 40\) đến \(y = 160\) (vì bãi cát ở chính giữa khu đất, cách mỗi cạnh \(AB,CD\) một khoảng \(\frac{{200 - 120}}{2} = 40{\rm{\;m}}\)).

\(y = \frac{{200}}{{{x_0}}}x \Leftrightarrow x = \frac{{{x_0}}}{{200}}y\).

Đường thẳng \(MN\) đi vào bãi cát tại biên dưới \(y = 40\), hoành độ giao điểm là: \({x_1} = \frac{{40{x_0}}}{{200}} = \frac{{{x_0}}}{5}\).

Vì \(0 \le {x_0} \le 100\) nên \(0 \le {x_1} \le 20 \le 40\) (luôn đi vào từ cạnh đáy của bãi cát).

Đường thẳng \(MN\) sẽ đi ra khỏi bãi cát theo 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \(0 \le {x_0} \le 50\)

Đường thẳng đi ra ở cạnh trên \(y = 160\).

• Quãng đường đi trên cát chiếm tỉ lệ cố định bằng \(\frac{{160 - 40}}{{200}} = \frac{3}{5}\) tổng quãng đường \(MN\).
• Thời gian đi toàn bộ hành trình là: \(t\left( {{x_0}} \right) = \frac{{\frac{2}{5}MN}}{3} + \frac{{\frac{3}{5}MN}}{2} = \frac{{13}}{{30}}MN = \frac{{13}}{{30}}\sqrt {x_0^2 + 40000} \).
• Hàm số này đồng biến trên \(\left[ {0;50} \right]\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \({x_0} = 0\):

Trường hợp 2: \(50 < {x_0} \le 100\)

Đường thẳng đi ra ở cạnh bên \(x = 40\). Điểm ra có tung độ \({y_2} = \frac{{8000}}{{{x_0}}}\).

• Chiều dài đoạn đường đi trong cát là:

• Tổng thời gian di chuyển trong trường hợp này là:

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{9x + 200}}{x}\sqrt {{x^2} + 40000} \) trên khoảng \(\left( {50,100} \right]\):

Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{9{x^3} - 8000000}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 40000} }}\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 9{x^3} = 8000000 \Leftrightarrow x = \frac{{200}}{{\sqrt[3]{9}}} \approx 96,15{\rm{\;m}}\) (thỏa mãn thuộc khoảng đang xét).

Thay giá trị \({x_0} \approx 96,15\) vào công thức tính thời gian \(t\left( {{x_0}} \right)\): \(a = t\left( {96,15} \right) \approx 81,95995{\rm{\;gi\^a y}}\).

Khi đó, giá trị của \(100a\) là: \(100a = 100 \times 81,95995 = 8195,995\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta được 8196.

Đáp án: 8196.