Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Mệnh đề nào sau đây sai?

Đáp án:

Tàu ngầm chuyển động thẳng cùng phương với vectơ \(\vec u\left( {2; - 2;1} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đoạn thẳng chuyển động là \(\vec u\), độ dài của vectơ \(\vec u\) là: \(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = 3\).

Điểm \(B\) nằm trên đường thẳng đi qua \(A\) có vectơ chỉ phương \(\vec u\), nên phương trình chuyển động từ \(A\) đến \(B\) biểu diễn qua hệ số tỉ lệ \(t\): \(\overrightarrow {AB} = t \cdot \vec u \Rightarrow {x_B} = {x_A} + 2t\).

Theo đề bài, hoành độ \({x_B} = 610\) và \({x_A} = 10\) nên \(610 = 10 + 2t \Rightarrow 2t = 600 \Rightarrow t = 300\).

Do đó vectơ \(\overrightarrow {AB} = 300 \cdot \vec u = \left( {600; - 600;300} \right)\).

Độ dài quãng đường từ \(A\) đến \(B\) là: \(AB = 300 \cdot \left| {\vec u} \right| = 300 \cdot 3 = 900{\rm{\;m\'e t}}\).

Tàu đi được quãng đường \(900{\rm{m}}\) mất thời gian là 6 phút.

Vận tốc chuyển động không đổi của tàu ngầm là: \(v = \frac{{900}}{6} = 150{\rm{\;m/ph\'u t}}\).

Quãng đường từ \(A\) đến \(D\) dài \(2700{\rm{m}}\).

Thời gian tàu ngầm di chuyển hết toàn bộ chặng đường \(AD\) là: \(T = \frac{{2700}}{{150}} = 18{\rm{\;ph\'u t}}\).

Đáp án: 18.

a) ĐÚNG. Ta có \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {D'C'} \). Do đó: \(\overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {DC'} = \overrightarrow {D'C'} - \overrightarrow {DC'} = \overrightarrow {D'C'} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow {D'D} \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {DC'} } \right| = \left| {\overrightarrow {D'D} } \right| = D'D = 3\).

b) SAI. Theo quy tắc hình hộp: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \). Mà \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \), nên biểu thức đề bài cho sai.

c) SAI. Ta có \(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC} \) nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} \).

Vì \(AB \bot BB'\) và \(AB \bot BC\) nên cả hai tích vô hướng đều bằng 0 \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {B'C} = 0\).

d) ĐÚNG.

Từ đẳng thức vectơ: \(\overrightarrow {C'N} = 2\overrightarrow {NB'} \Leftrightarrow \overrightarrow {C'N} = 2\left( {\overrightarrow {C'B'} - \overrightarrow {C'N} } \right) \Leftrightarrow 3\overrightarrow {C'N} = 2\overrightarrow {C'B'} \Rightarrow \overrightarrow {C'N} = \frac{2}{3}\overrightarrow {C'B'} \).

Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'N} = \left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \frac{2}{3}\left( { - \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \).

(Vì \(\overrightarrow {C'B'} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {AD} \)). Đẳng thức hoàn toàn chính xác.