Mặt cắt đứng của một cây cầu vòm được mô phỏng bởi đường cong \(y = \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}\), \(x\) tính bằng dam (1 dam = 10 m), \(y\) là độ cao so với mặt sàn. Người ta muốn đặt một cống thoát nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật \(ABCD\) sao cho đáy \(AD\) nằm trên mặt sàn (trục hoành), đỉnh \(B,C\) tựa trên vòm cầu (như hình minh họa). Để thể tích nước thoát qua cống đạt lớn nhất, cần thiết kế tiết diện sao cho diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) lớn nhất. Hãy tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) theo đơn vị mét vuông, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Đáp án:

Doanh thu khi bán \(x\) sản phẩm là: \(R\left( x \right) = 500x\) (nghìn đồng).

Hàm lợi nhuận mỗi ngày thu được là:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - S\left( x \right) = 500x - \left( {{x^3} - 3{x^2} + 80x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 420x - 500\) (nghìn đồng).

Xét hàm \(P\left( x \right)\) trên nửa khoảng \(\left[ {1;25} \right)\).

Tính đạo hàm của hàm lợi nhuận: \(P'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 420\).

Giải phương trình \(P'\left( x \right) = 0\):

\( - 3{x^2} + 6x + 420 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 140 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + \sqrt {141} \approx 12,87 \in \left[ {1;25} \right)}\\{x = 1 - \sqrt {141} < 0{\rm{\;(loai)}}}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm \(P\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;25} \right)\):

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x = 1 + \sqrt {141} \approx 12,87\). Vì lượng sản phẩm sản xuất thực tế phải là một số nguyên, ta so sánh giá trị lợi nhuận tại hai điểm nguyên gần nhất là \(x = 12\) và \(x = 13\):

\(P\left( {12} \right) = - {12^3} + 3 \cdot {12^2} + 420 \cdot 12 - 500 = - 1728 + 432 + 5040 - 500 = 3244\);

\(P\left( {13} \right) = - {13^3} + 3 \cdot {13^2} + 420 \cdot 13 - 500 = - 2197 + 507 + 5460 - 500 = 3270\).

So sánh thấy lợi nhuận lớn nhất đạt được là \(3270\) nghìn đồng khi sản xuất 13 sản phẩm.

Đổi sang đơn vị triệu đồng và làm tròn: \(3270\) nghìn đồng xấp xỉ bằng 3,3 triệu đồng.

Đáp án: 3,3.

Đáp án:

Tàu ngầm chuyển động thẳng cùng phương với vectơ \(\vec u\left( {2; - 2;1} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đoạn thẳng chuyển động là \(\vec u\), độ dài của vectơ \(\vec u\) là: \(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = 3\).

Điểm \(B\) nằm trên đường thẳng đi qua \(A\) có vectơ chỉ phương \(\vec u\), nên phương trình chuyển động từ \(A\) đến \(B\) biểu diễn qua hệ số tỉ lệ \(t\): \(\overrightarrow {AB} = t \cdot \vec u \Rightarrow {x_B} = {x_A} + 2t\).

Theo đề bài, hoành độ \({x_B} = 610\) và \({x_A} = 10\) nên \(610 = 10 + 2t \Rightarrow 2t = 600 \Rightarrow t = 300\).

Do đó vectơ \(\overrightarrow {AB} = 300 \cdot \vec u = \left( {600; - 600;300} \right)\).

Độ dài quãng đường từ \(A\) đến \(B\) là: \(AB = 300 \cdot \left| {\vec u} \right| = 300 \cdot 3 = 900{\rm{\;m\'e t}}\).

Tàu đi được quãng đường \(900{\rm{m}}\) mất thời gian là 6 phút.

Vận tốc chuyển động không đổi của tàu ngầm là: \(v = \frac{{900}}{6} = 150{\rm{\;m/ph\'u t}}\).

Quãng đường từ \(A\) đến \(D\) dài \(2700{\rm{m}}\).

Thời gian tàu ngầm di chuyển hết toàn bộ chặng đường \(AD\) là: \(T = \frac{{2700}}{{150}} = 18{\rm{\;ph\'u t}}\).

Đáp án: 18.