Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một tàu ngầm di chuyển theo một đường thẳng từ điểm \(A\left( {10;3;0} \right)\) đến điểm \(D\) cách nhau \(2700{\rm{m}}\). Biết đường đi của tàu cùng phương với vectơ \(\vec u\left( {2; - 2;1} \right)\) và thời gian đi từ \(A\) đến điểm \(B\) có hoành độ \({x_B} = 610\) là 6 phút. Nếu vận tốc không đổi thì thời gian tàu ngầm đi từ \(A\) đến \(D\) là bao nhiêu phút?

a) ĐÚNG. Ta có \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {D'C'} \). Do đó: \(\overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {DC'} = \overrightarrow {D'C'} - \overrightarrow {DC'} = \overrightarrow {D'C'} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow {D'D} \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {DC'} } \right| = \left| {\overrightarrow {D'D} } \right| = D'D = 3\).

b) SAI. Theo quy tắc hình hộp: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \). Mà \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \), nên biểu thức đề bài cho sai.

c) SAI. Ta có \(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC} \) nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} \).

Vì \(AB \bot BB'\) và \(AB \bot BC\) nên cả hai tích vô hướng đều bằng 0 \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {B'C} = 0\).

d) ĐÚNG.

Từ đẳng thức vectơ: \(\overrightarrow {C'N} = 2\overrightarrow {NB'} \Leftrightarrow \overrightarrow {C'N} = 2\left( {\overrightarrow {C'B'} - \overrightarrow {C'N} } \right) \Leftrightarrow 3\overrightarrow {C'N} = 2\overrightarrow {C'B'} \Rightarrow \overrightarrow {C'N} = \frac{2}{3}\overrightarrow {C'B'} \).

Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'N} = \left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \frac{2}{3}\left( { - \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \).

(Vì \(\overrightarrow {C'B'} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {AD} \)). Đẳng thức hoàn toàn chính xác.

Đáp án:

Do tính chất đối xứng qua trục tung \(Oy\) của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}\), gọi tọa độ điểm \(D\) nằm trên trục hoành bên dương là \(D\left( {x;0} \right)\) với \(x > 0\). Khi đó tọa độ điểm \(A\) đối xứng với \(D\) qua \(O\) là \(A\left( { - x;0} \right)\).

Chiều dài đáy hình chữ nhật \(AD\) là: \(AD = 2x\).

Điểm \(C\) thuộc đồ thị có hoành độ bằng hoành độ của \(D\) nên tọa độ \(C\left( {x;\frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}} \right)\).

Chiều cao của hình chữ nhật \(CD\) là: \(CD = \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}\).

Diện tích của tiết diện hình chữ nhật \(ABCD\) tính theo đơn vị \({\rm{da}}{{\rm{m}}^2}\) là:

\(S\left( x \right) = AD \cdot CD = 2x \cdot \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}} = x \cdot {e^{ - {x^2}}}\).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Tính đạo hàm: \(S'\left( x \right) = 1 \cdot {e^{ - {x^2}}} + x \cdot \left( { - 2x} \right){e^{ - {x^2}}} = \left( {1 - 2{x^2}} \right){e^{ - {x^2}}}\).

Giải phương trình \(S'\left( x \right) = 0\): \(1 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{\;(do\;}}x > 0)\).

Bảng biến thiên của hàm diện tích \(S\left( x \right)\):

Diện tích lớn nhất đạt được tại \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\): \({S_{{\rm{max}}}} = S\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot {e^{ - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot {e^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt {2e} }}{\rm{\;(da}}{{\rm{m}}^2})\).

Đổi đơn vị diện tích sang mét vuông (\({{\rm{m}}^2}\)):

Vì \(1{\rm{\;dam}} = 10{\rm{\;m}} \Rightarrow 1{\rm{\;da}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên \({S_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{{\sqrt {2e} }} \cdot 100 \approx \frac{{100}}{{2,3316}} \approx 42,888{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta thu được diện tích lớn nhất là \(43{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Đáp án: 43.