Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một tàu ngầm di chuyển theo một đường thẳng từ điểm \(A\left( {10;3;0} \right)\) đến điểm \(D\) cách nhau \(2700{\rm{m}}\). Biết đường đi của tàu cùng phương với vectơ \(\vec u\left( {2; - 2;1} \right)\) và thời gian đi từ \(A\) đến điểm \(B\) có hoành độ \({x_B} = 610\) là 6 phút. Nếu vận tốc không đổi thì thời gian tàu ngầm đi từ \(A\) đến \(D\) là bao nhiêu phút?

Đáp án:

Doanh thu khi bán \(x\) sản phẩm là: \(R\left( x \right) = 500x\) (nghìn đồng).

Hàm lợi nhuận mỗi ngày thu được là:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - S\left( x \right) = 500x - \left( {{x^3} - 3{x^2} + 80x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 420x - 500\) (nghìn đồng).

Xét hàm \(P\left( x \right)\) trên nửa khoảng \(\left[ {1;25} \right)\).

Tính đạo hàm của hàm lợi nhuận: \(P'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 420\).

Giải phương trình \(P'\left( x \right) = 0\):

\( - 3{x^2} + 6x + 420 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 140 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + \sqrt {141} \approx 12,87 \in \left[ {1;25} \right)}\\{x = 1 - \sqrt {141} < 0{\rm{\;(loai)}}}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm \(P\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;25} \right)\):

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x = 1 + \sqrt {141} \approx 12,87\). Vì lượng sản phẩm sản xuất thực tế phải là một số nguyên, ta so sánh giá trị lợi nhuận tại hai điểm nguyên gần nhất là \(x = 12\) và \(x = 13\):

\(P\left( {12} \right) = - {12^3} + 3 \cdot {12^2} + 420 \cdot 12 - 500 = - 1728 + 432 + 5040 - 500 = 3244\);

\(P\left( {13} \right) = - {13^3} + 3 \cdot {13^2} + 420 \cdot 13 - 500 = - 2197 + 507 + 5460 - 500 = 3270\).

So sánh thấy lợi nhuận lớn nhất đạt được là \(3270\) nghìn đồng khi sản xuất 13 sản phẩm.

Đổi sang đơn vị triệu đồng và làm tròn: \(3270\) nghìn đồng xấp xỉ bằng 3,3 triệu đồng.

Đáp án: 3,3.

Đáp án:

Do tính chất đối xứng qua trục tung \(Oy\) của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}\), gọi tọa độ điểm \(D\) nằm trên trục hoành bên dương là \(D\left( {x;0} \right)\) với \(x > 0\). Khi đó tọa độ điểm \(A\) đối xứng với \(D\) qua \(O\) là \(A\left( { - x;0} \right)\).

Chiều dài đáy hình chữ nhật \(AD\) là: \(AD = 2x\).

Điểm \(C\) thuộc đồ thị có hoành độ bằng hoành độ của \(D\) nên tọa độ \(C\left( {x;\frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}} \right)\).

Chiều cao của hình chữ nhật \(CD\) là: \(CD = \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}\).

Diện tích của tiết diện hình chữ nhật \(ABCD\) tính theo đơn vị \({\rm{da}}{{\rm{m}}^2}\) là:

\(S\left( x \right) = AD \cdot CD = 2x \cdot \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}} = x \cdot {e^{ - {x^2}}}\).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Tính đạo hàm: \(S'\left( x \right) = 1 \cdot {e^{ - {x^2}}} + x \cdot \left( { - 2x} \right){e^{ - {x^2}}} = \left( {1 - 2{x^2}} \right){e^{ - {x^2}}}\).

Giải phương trình \(S'\left( x \right) = 0\): \(1 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{\;(do\;}}x > 0)\).

Bảng biến thiên của hàm diện tích \(S\left( x \right)\):

Diện tích lớn nhất đạt được tại \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\): \({S_{{\rm{max}}}} = S\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot {e^{ - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot {e^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt {2e} }}{\rm{\;(da}}{{\rm{m}}^2})\).

Đổi đơn vị diện tích sang mét vuông (\({{\rm{m}}^2}\)):

Vì \(1{\rm{\;dam}} = 10{\rm{\;m}} \Rightarrow 1{\rm{\;da}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên \({S_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{{\sqrt {2e} }} \cdot 100 \approx \frac{{100}}{{2,3316}} \approx 42,888{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta thu được diện tích lớn nhất là \(43{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Đáp án: 43.