Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam (Hà Nội) có đáp án

Dựa vào bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\), ta thấy \(f'\left( x \right) < 0\) khi \[x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0;2} \right)\]. Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \[\left( {0;2} \right)\].

Chọn đáp án: D

Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\) thì hàm số phải xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm).

• Loại B vì hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
• Xét đáp án A: \(y' = - 3{x^2} - 2 < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
• Xét đáp án C: \(y' = 9{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
• Xét đáp án D: \(y' = 6{x^2} - 5\), phương trình \[y' = 0\] có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có cả khoảng đồng biến và nghịch biến.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy tại điểm \(x = 1\), đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\).

Giá trị cực đại tương ứng của hàm số là .

Chọn đáp án: A

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\).

Ta có đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 9\).

Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \in \left[ { - 2;2} \right]}\\{x = 3 \notin \left[ { - 2;2} \right]}\end{array}} \right.\).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trong đoạn:

\(f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 2} \right) + 10 = - 8 - 12 + 18 + 10 = 8\);

\(f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 1} \right) + 10 = - 1 - 3 + 9 + 10 = 15\);

\(f\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} - 9 \cdot 2 + 10 = 8 - 12 - 18 + 10 = - 12\).

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) bằng \(15\) tại \(x = - 1\).

Chọn đáp án: C

Dựa vào bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\), hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) với giá trị \(f\left( 0 \right) = 5\).

Tại biên \(x = 3\), giá trị hàm số là \(f\left( 3 \right) = 4\).

Vì \(5 > 4\) và trên các khoảng còn lại hàm số không vượt quá \(5\), ta kết luận giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) là \(5\), đạt được tại \(x = 0\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\).

Chọn đáp án: A

Thực hiện phép chia đa thức tử số cho mẫu số ta được \(y = 2x - 5 + \frac{{10}}{{x + 3}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{10}}{{x + 3}} = 0\), nên đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \({\rm{\Delta }}:y = 2x - 5\).

Suy ra \(a = 2\) và \(b = - 5\).

Giá trị của tổng \(a + b\) là: \(a + b = 2 + \left( { - 5} \right) = - 3\).

Chọn đáp án: A

Tổng số cỡ mẫu là \(n = 42\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là giá trị vị trí thứ \(\frac{n}{4} = \frac{{42}}{4} = 10,5\).

Ta tính tần số tích lũy:

• Nhóm \(\left[ {0;5} \right)\): Tần số tích lũy \(c{f_1} = 3\).
• Nhóm \(\left[ {5;10} \right)\): Tần số tích lũy \(c{f_2} = 3 + 4 = 7\).
• Nhóm \(\left[ {10;15} \right)\): Tần số tích lũy \(c{f_3} = 7 + 8 = 15\).

Áp dụng công thức tính tứ phân vị thứ nhất cho mẫu số liệu ghép nhóm: \({Q_1} = L + \left( {\frac{{\frac{n}{4} - c{f_{k - 1}}}}{{{n_k}}}} \right) \cdot c\).

Trong đó:

• \(L = 10\) (đầu mút trái của nhóm chứa \({Q_1}\))
• \(c{f_{k - 1}} = 7\) (tần số tích lũy của nhóm trước đó)
• \({n_k} = 8\) (tần số của nhóm chứa \({Q_1}\))
• \(c = 15 - 10 = 5\) (độ rộng nhóm)

Giá trị này gần nhất với kết quả \(12,19\).

Chọn đáp án: C

Tính giá trị đại diện \({x_i}\) của từng nhóm (trung điểm của mỗi nhóm):

• Nhóm \(1:\left[ {2;3,5} \right) \Rightarrow {x_1} = \frac{{2 + 3,5}}{2} = 2,75\).
• Nhóm \(2:\left[ {3,5;5} \right) \Rightarrow {x_2} = \frac{{3,5 + 5}}{2} = 4,25\).
• Nhóm \(3:\left[ {5;6,5} \right) \Rightarrow {x_3} = \frac{{5 + 6,5}}{2} = 5,75\).
• Nhóm \(4:\left[ {6,5;8} \right) \Rightarrow {x_4} = \frac{{6,5 + 8}}{2} = 7,25\).

Tuổi thọ trung bình \(\bar x\) là: \(\bar x = \frac{{8 \cdot 2,75 + 22 \cdot 4,25 + 35 \cdot 5,75 + 15 \cdot 7,25}}{{80}} \approx 5,32\).

Chọn đáp án: D