Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\), \(B\left( { - 8;7; - 3} \right)\) và \(C\left( {m;n;p} \right)\). Biết điểm \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng. Giá trị của \(m + n + p\) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Doanh thu khi bán \(x\) sản phẩm là: \(R\left( x \right) = 500x\) (nghìn đồng).

Hàm lợi nhuận mỗi ngày thu được là:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - S\left( x \right) = 500x - \left( {{x^3} - 3{x^2} + 80x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 420x - 500\) (nghìn đồng).

Xét hàm \(P\left( x \right)\) trên nửa khoảng \(\left[ {1;25} \right)\).

Tính đạo hàm của hàm lợi nhuận: \(P'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 420\).

Giải phương trình \(P'\left( x \right) = 0\):

\( - 3{x^2} + 6x + 420 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 140 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + \sqrt {141} \approx 12,87 \in \left[ {1;25} \right)}\\{x = 1 - \sqrt {141} < 0{\rm{\;(loai)}}}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm \(P\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;25} \right)\):

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x = 1 + \sqrt {141} \approx 12,87\). Vì lượng sản phẩm sản xuất thực tế phải là một số nguyên, ta so sánh giá trị lợi nhuận tại hai điểm nguyên gần nhất là \(x = 12\) và \(x = 13\):

\(P\left( {12} \right) = - {12^3} + 3 \cdot {12^2} + 420 \cdot 12 - 500 = - 1728 + 432 + 5040 - 500 = 3244\);

\(P\left( {13} \right) = - {13^3} + 3 \cdot {13^2} + 420 \cdot 13 - 500 = - 2197 + 507 + 5460 - 500 = 3270\).

So sánh thấy lợi nhuận lớn nhất đạt được là \(3270\) nghìn đồng khi sản xuất 13 sản phẩm.

Đổi sang đơn vị triệu đồng và làm tròn: \(3270\) nghìn đồng xấp xỉ bằng 3,3 triệu đồng.

Đáp án: 3,3.

Đáp án:

Tàu ngầm chuyển động thẳng cùng phương với vectơ \(\vec u\left( {2; - 2;1} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đoạn thẳng chuyển động là \(\vec u\), độ dài của vectơ \(\vec u\) là: \(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = 3\).

Điểm \(B\) nằm trên đường thẳng đi qua \(A\) có vectơ chỉ phương \(\vec u\), nên phương trình chuyển động từ \(A\) đến \(B\) biểu diễn qua hệ số tỉ lệ \(t\): \(\overrightarrow {AB} = t \cdot \vec u \Rightarrow {x_B} = {x_A} + 2t\).

Theo đề bài, hoành độ \({x_B} = 610\) và \({x_A} = 10\) nên \(610 = 10 + 2t \Rightarrow 2t = 600 \Rightarrow t = 300\).

Do đó vectơ \(\overrightarrow {AB} = 300 \cdot \vec u = \left( {600; - 600;300} \right)\).

Độ dài quãng đường từ \(A\) đến \(B\) là: \(AB = 300 \cdot \left| {\vec u} \right| = 300 \cdot 3 = 900{\rm{\;m\'e t}}\).

Tàu đi được quãng đường \(900{\rm{m}}\) mất thời gian là 6 phút.

Vận tốc chuyển động không đổi của tàu ngầm là: \(v = \frac{{900}}{6} = 150{\rm{\;m/ph\'u t}}\).

Quãng đường từ \(A\) đến \(D\) dài \(2700{\rm{m}}\).

Thời gian tàu ngầm di chuyển hết toàn bộ chặng đường \(AD\) là: \(T = \frac{{2700}}{{150}} = 18{\rm{\;ph\'u t}}\).

Đáp án: 18.