Cho \[\Delta ABC\], điểm \[M\] thuộc cạnh \[BC.\] Đường thẳng đi qua \[M\] và song song với \[AB\] cắt \[AC\] ở \[D.\] Đường thẳng đi qua \[M\] và song song với \[AC\] cắt \[AB\] ở \[E.\]

Cho các khẳng định dưới đây:

(I) \(\widehat {ADM} = \widehat {AEM}\);                      (II) \[ME = AD\];                (III) \[\Delta AMD = \Delta MAE\].

Có bao nhiêu khẳng định đúng?

Chọn A

Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (hai góc phụ nhau)   (1)

Xét \[\Delta AHC\] vuông tại \[H\] có \(\widehat {HAC} + \widehat {ACH} = 90^\circ \) (hai góc phụ nhau)   (2)

Từ (1), (2) suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {HAC}\).

Ta có:

⦁ \(\widehat {ABI} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\) (do \[BI\] là phân giác của \(\widehat {ABC}\));

⦁ \(\widehat {HAI} = \frac{1}{2}\widehat {HAC}\) (do \[AI\] là phân giác của \(\widehat {HAC}\)).

Suy ra \[\widehat {ABI} + \widehat {HAI} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \frac{1}{2}\widehat {HAC} + \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \widehat {HAC}\].

Xét \[\Delta ABI\] có: \(\widehat {ABI} + \widehat {BAI} = \widehat {ABI} + \widehat {BAH} + \widehat {HAI}\)

\( = \left( {\widehat {ABI} + \widehat {HAI}} \right) + \widehat {BAH} = \widehat {HAC} + \widehat {BAH} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {ABI} + \widehat {BAI} + \widehat {AIB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {AIB} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ABI} + \widehat {BAI}} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \).

Vậy \[\Delta AIB\]vuông tại \[I.\]

a) Đúng. Vì \[\widehat {ABM},\,\,\widehat {ACN}\] lần lượt kề bù với \[\widehat {ABC},\,\,\widehat {ACB}\].

Suy ra \[\widehat {ABM} = 180^\circ  - \widehat {ABC},\,\,\widehat {ACN} = 180^\circ  - \widehat {ACB}\].

Do đó \[\widehat {ABM} = \,\,\widehat {ACN}\].

b) Đúng. Xét \[\Delta ABI\] và \[\Delta ACI\] có:

\(\widehat {AIB} = \widehat {AIC} = 90^\circ \); \[\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\] (gt); \[AI\] chung (gt)

Suy ra \[\Delta ABI = \Delta ACI\] (cạnh góc vuông – góc nhọn).

c) Sai. Xét \[\Delta ABM\] và \[\Delta ACN\] có:

\[MB = NC\] (gt); \[\widehat {MBA} = \widehat {NCA}\] (cmt); \[AB = AC\,\,\left( {\Delta ABI = \Delta ACI} \right)\]

Do đó \[\Delta ABM = \Delta ACN\] (c.g.c)

d) Đúng. Vì \[\Delta ABM = \Delta ACN\] (cmt) nên \[\widehat {AMB} = \widehat {CNA}\]  (hai góc tương ứng) hay \[\widehat {EMB} = \widehat {CNF}\].

Xét \[\Delta BME\] và \[\Delta CNF\] có:

\(\widehat {BEM} = \widehat {CFN} = 90^\circ \); \[MB = CN\] (gt); \[\widehat {EMB} = \widehat {FNC}\] (cmt).

Do đó, \[\Delta BME = \Delta CNF\] (cạnh huyền – góc nhọn).