Cho \[\Delta ABC\] có \[\widehat B = \widehat C.\] Trên tia đối của tia \[BC\] lấy điểm \[M\], trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[N\] sao cho \[BM = CN.\] Kẻ \[AI \bot BC\,\,\,\left( {I \in BC} \right),\,\,BE \bot AM\,\,\left( {E \in AM} \right),\,\,CF \bot AN\,\,\left( {F \in AN} \right)\].

Hãy xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a) Sai. Vì \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\].

Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta AEC\] có:

\[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\] (cmt); \[BD = CE\] (gt); \[AB = AC\] (gt)

Do đó \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (c.g.c)

b) Đúng. Vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cmt) nên \[AD = AE\].

Suy ra \[\Delta ADE\] cân tại \[A\] nên \[\widehat D = \widehat E\].

Xét \[\Delta BHD\] và \[\Delta CKE\] có:

\(\widehat {BHD} = \widehat {CKE} = 90^\circ \); \[\widehat D = \widehat E\] (cmt); \[BD = CE\] (gt).

Suy ra \[\Delta BHD = \Delta CKE\] (cạnh huyền – góc nhọn).

c) Sai. Ta có \[\Delta BHD = \Delta CKE\] nên \[HD = KE\] (hai cạnh tương ứng)

Lại có \[AD - HD = AE - KE\] hay \[AH = AK\].

Do đó, ta chỉ ra được \[\Delta AHI = \Delta AKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {HAI} = \widehat {KAI}\] (hai góc tương ứng).

Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta EAM\] có:

\[\widehat {DAM} = \widehat {MAE}\] (cmt); \[AD = AE\] (cmt); \[\widehat {ADM} = \widehat {MEA}\].

Do đó \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (g.c.g)

d) Đúng. Vì \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (cmt) nên \[DM = ME\] và \[\widehat {AMD} = \widehat {EMD}\].

Do đó, \[M\] là trung điểm của \[DE\] và \[\widehat {AMD} = 180^\circ :2 = 90^\circ \] (do \[\widehat {AMD},\,\,\widehat {EMD}\] là hai góc kề bù).

Suy ra \[AI \bot DE\] tại trung điểm \[M\] của \[DE\].

Vậy \[AI\] là trung trực của \[DE.\]

Chọn A

Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (hai góc phụ nhau)   (1)

Xét \[\Delta AHC\] vuông tại \[H\] có \(\widehat {HAC} + \widehat {ACH} = 90^\circ \) (hai góc phụ nhau)   (2)

Từ (1), (2) suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {HAC}\).

Ta có:

⦁ \(\widehat {ABI} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\) (do \[BI\] là phân giác của \(\widehat {ABC}\));

⦁ \(\widehat {HAI} = \frac{1}{2}\widehat {HAC}\) (do \[AI\] là phân giác của \(\widehat {HAC}\)).

Suy ra \[\widehat {ABI} + \widehat {HAI} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \frac{1}{2}\widehat {HAC} + \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \widehat {HAC}\].

Xét \[\Delta ABI\] có: \(\widehat {ABI} + \widehat {BAI} = \widehat {ABI} + \widehat {BAH} + \widehat {HAI}\)

\( = \left( {\widehat {ABI} + \widehat {HAI}} \right) + \widehat {BAH} = \widehat {HAC} + \widehat {BAH} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {ABI} + \widehat {BAI} + \widehat {AIB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {AIB} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ABI} + \widehat {BAI}} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \).

Vậy \[\Delta AIB\]vuông tại \[I.\]