Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có đường chéo \(AC' = 2a\sqrt 3 ,\left( {a > 0} \right)\).

Đáp án:

Vì điểm \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxz} \right)\) nên tọa độ tung độ của \(M\) bằng \(0\), tức là \(b = 0\). Do đó, ta có \(M\left( {a;0;c} \right)\).

Ta chọn điểm \(I\) sao cho: \(5\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \vec 0\).

Khi đó, tọa độ điểm \(I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)\) được tính bằng công thức:

\({x_I} = \frac{{5{x_A} + 3{x_B} + 4{x_C}}}{{5 + 3 + 4}} = \frac{{5 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 4 \cdot 3}}{{12}} = \frac{{5 - 3 + 12}}{{12}} = \frac{{14}}{{12}} = \frac{7}{6}\)

\({y_I} = \frac{{5{y_A} + 3{y_B} + 4{y_C}}}{{12}} = \frac{{5 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1}}{{12}} = \frac{{6 + 4}}{{12}} = \frac{{10}}{{12}} = \frac{5}{6}\)

\({z_I} = \frac{{5{z_A} + 3{z_B} + 4{z_C}}}{{12}} = \frac{{5 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1}}{{12}} = \frac{{10 + 6 + 4}}{{12}} = \frac{{20}}{{12}} = \frac{5}{3}\)

Vậy \(I\left( {\frac{7}{6};\frac{5}{6};\frac{5}{3}} \right)\).

Khi đó,

\(2\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = 2M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + 2\overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IB} \)

\(\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right) = M{I^2} + \overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + \overrightarrow {IB} \cdot \overrightarrow {IC} \)

\(3\overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} = 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) = 3M{I^2} + 3\overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} } \right) + 3\overrightarrow {IC} \cdot \overrightarrow {IA} \)

Cộng ba biểu thức trên lại, ta được:

\(S = 6M{I^2} + \overrightarrow {MI} \cdot \left[ {2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} } \right)} \right] + {C_0}\)

\( = 6M{I^2} + \overrightarrow {MI} \cdot \left[ {5\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} } \right] + {C_0} = 6M{I^2} + {C_0}\).

(Trong đó \({C_0} = 2\overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} \cdot \overrightarrow {IC} + 3\overrightarrow {IC} \cdot \overrightarrow {IA} \) là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí của \(M\)).

Tìm điểm \(M\) để \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Do \({C_0}\) là hằng số, \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài đoạn thẳng \(MI\) nhỏ nhất.

Vì \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).

Hình chiếu vuông góc của điểm \(I\left( {\frac{7}{6};\frac{5}{6};\frac{5}{3}} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) thu được bằng cách giữ nguyên hoành độ, cao độ và cho tung độ bằng \(0\): \(M\left( {\frac{7}{6};0;\frac{5}{3}} \right)\).

Từ đó ta có hệ số tọa độ của \(M\left( {a;b;c} \right)\) là: \(a = \frac{7}{6},\quad b = 0,\quad c = \frac{5}{3}\).

Vậy \(T = 6 \cdot \left( {\frac{7}{6}} \right) - 5 \cdot 0 + 3 \cdot \left( {\frac{5}{3}} \right) = 7 - 0 + 5 = 12\).

Đáp án: 12.

Đáp án:

Dựng hệ trục tọa độ tại điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) nằm trên mặt đất, cột điện nằm trên trục \(Oz \Rightarrow A\left( {0;0;h} \right)\).

Ta có \(OB = OC = 6{\rm{m}}\). Vì góc nhị diện \(\left[ {B,OA,C} \right] = 135^\circ \) nên \(\widehat {BOC} = 135^\circ \).

Góc giữa \(AB\) và mặt phẳng đáy là \(\widehat {ABO} = 45^\circ \Rightarrow h = OA = OB{\rm{tan}}45^\circ = 6\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Chọn tia \(OB\) làm trục \(Ox \Rightarrow B\left( {6;0;0} \right)\).

Điểm \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ: \(C\left( {6{\rm{cos}}135^\circ ;6{\rm{sin}}135^\circ ;0} \right) = \left( { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 ;0} \right)\).

Tọa độ các vectơ: \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;0; - 6} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 6\sqrt 2 \); \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 ; - 6} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {18 + 18 + 36} = 6\sqrt 2 \).

Tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 18\sqrt 2 + 36\).

Côsin góc giữa hai vectơ: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{ - 18\sqrt 2 + 36}}{{72}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4} \approx 0,146 \approx 0,1\).

Đáp án: 0,1.