Một kỹ sư đang thiết kế viền (biên dạng) của một chi tiết kỹ thuật cần phải chịu lực nén tối ưu. Viền này được mô hình hóa trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\]. Biên dạng cong của chi tiết được mô tả bởi đồ thị \[\left( C \right)\] của một hàm số phân thức bậc hai trên bậc một, có dạng tổng quát là \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\), với \[m = 1\]. Biết đồ thị \[\left( C \right)\] này cắt \[Oy\] tại điểm \[A\left( {0;1} \right)\], qua điểm \[B\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\], có đường tiệm cận đứng \[x = 1\] và có một điểm cực trị là \[C\left( {2;5} \right)\]. Khi đó, \[a + b - n\] bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Vì điểm \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxz} \right)\) nên tọa độ tung độ của \(M\) bằng \(0\), tức là \(b = 0\). Do đó, ta có \(M\left( {a;0;c} \right)\).

Ta chọn điểm \(I\) sao cho: \(5\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \vec 0\).

Khi đó, tọa độ điểm \(I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)\) được tính bằng công thức:

\({x_I} = \frac{{5{x_A} + 3{x_B} + 4{x_C}}}{{5 + 3 + 4}} = \frac{{5 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 4 \cdot 3}}{{12}} = \frac{{5 - 3 + 12}}{{12}} = \frac{{14}}{{12}} = \frac{7}{6}\)

\({y_I} = \frac{{5{y_A} + 3{y_B} + 4{y_C}}}{{12}} = \frac{{5 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1}}{{12}} = \frac{{6 + 4}}{{12}} = \frac{{10}}{{12}} = \frac{5}{6}\)

\({z_I} = \frac{{5{z_A} + 3{z_B} + 4{z_C}}}{{12}} = \frac{{5 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1}}{{12}} = \frac{{10 + 6 + 4}}{{12}} = \frac{{20}}{{12}} = \frac{5}{3}\)

Vậy \(I\left( {\frac{7}{6};\frac{5}{6};\frac{5}{3}} \right)\).

Khi đó,

\(2\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = 2M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + 2\overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IB} \)

\(\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right) = M{I^2} + \overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + \overrightarrow {IB} \cdot \overrightarrow {IC} \)

\(3\overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} = 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) = 3M{I^2} + 3\overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} } \right) + 3\overrightarrow {IC} \cdot \overrightarrow {IA} \)

Cộng ba biểu thức trên lại, ta được:

\(S = 6M{I^2} + \overrightarrow {MI} \cdot \left[ {2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} } \right)} \right] + {C_0}\)

\( = 6M{I^2} + \overrightarrow {MI} \cdot \left[ {5\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} } \right] + {C_0} = 6M{I^2} + {C_0}\).

(Trong đó \({C_0} = 2\overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} \cdot \overrightarrow {IC} + 3\overrightarrow {IC} \cdot \overrightarrow {IA} \) là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí của \(M\)).

Tìm điểm \(M\) để \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Do \({C_0}\) là hằng số, \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài đoạn thẳng \(MI\) nhỏ nhất.

Vì \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).

Hình chiếu vuông góc của điểm \(I\left( {\frac{7}{6};\frac{5}{6};\frac{5}{3}} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) thu được bằng cách giữ nguyên hoành độ, cao độ và cho tung độ bằng \(0\): \(M\left( {\frac{7}{6};0;\frac{5}{3}} \right)\).

Từ đó ta có hệ số tọa độ của \(M\left( {a;b;c} \right)\) là: \(a = \frac{7}{6},\quad b = 0,\quad c = \frac{5}{3}\).

Vậy \(T = 6 \cdot \left( {\frac{7}{6}} \right) - 5 \cdot 0 + 3 \cdot \left( {\frac{5}{3}} \right) = 7 - 0 + 5 = 12\).

Đáp án: 12.

Đáp án:

Dựng hệ trục tọa độ tại điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) nằm trên mặt đất, cột điện nằm trên trục \(Oz \Rightarrow A\left( {0;0;h} \right)\).

Ta có \(OB = OC = 6{\rm{m}}\). Vì góc nhị diện \(\left[ {B,OA,C} \right] = 135^\circ \) nên \(\widehat {BOC} = 135^\circ \).

Góc giữa \(AB\) và mặt phẳng đáy là \(\widehat {ABO} = 45^\circ \Rightarrow h = OA = OB{\rm{tan}}45^\circ = 6\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Chọn tia \(OB\) làm trục \(Ox \Rightarrow B\left( {6;0;0} \right)\).

Điểm \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ: \(C\left( {6{\rm{cos}}135^\circ ;6{\rm{sin}}135^\circ ;0} \right) = \left( { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 ;0} \right)\).

Tọa độ các vectơ: \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;0; - 6} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 6\sqrt 2 \); \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 ; - 6} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {18 + 18 + 36} = 6\sqrt 2 \).

Tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 18\sqrt 2 + 36\).

Côsin góc giữa hai vectơ: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{ - 18\sqrt 2 + 36}}{{72}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4} \approx 0,146 \approx 0,1\).

Đáp án: 0,1.