Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\); \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Giao điểm của đường thẳng \(EG\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) là:

Đáp án:

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SAB\) với cát tuyến đi qua \(P,N,E\) (với \(E = PN \cap AB\)), ta được \(\frac{{PS}}{{PA}} \cdot \frac{{EA}}{{EB}} \cdot \frac{{NB}}{{NS}} = 1\).

Vì \(AP = 3PS \Rightarrow \frac{{PS}}{{PA}} = \frac{1}{3}\).

Vì \(2SB = 7NB \Rightarrow \frac{{NB}}{{NS}} = \frac{2}{5}\).

Suy ra \(\frac{1}{3} \cdot \frac{{EA}}{{EB}} \cdot \frac{2}{5} = 1 \Rightarrow \frac{{EA}}{{EB}} = \frac{{15}}{2}\).

Ta có \(E,M,N,P\) đồng phẳng nên \(EM \cap BC = I\).

Vì \(EB{\rm{//}}CD\) (do \(AB{\rm{//}}CD\)) nên \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{EB}}{{MC}}\).

Ta có \(MC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3}AB} \right) = \frac{1}{6}AB\).

Từ tỉ số \(\frac{{EA}}{{EB}} = \frac{{15}}{2} \Rightarrow \frac{{AB + EB}}{{EB}} = \frac{{15}}{2} \Rightarrow \frac{{AB}}{{EB}} + 1 = \frac{{15}}{2} \Rightarrow \frac{{AB}}{{EB}} = \frac{{13}}{2} \Rightarrow EB = \frac{2}{{13}}AB\).

Do đó: \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{\frac{2}{{13}}AB}}{{\frac{1}{6}AB}} = \frac{{12}}{{13}} \approx 0,92\).

Kết quả: 0,92.

Đáp án:

Diện tích hình vuông thứ (1): Cạnh của hình vuông này bằng một nửa cạnh góc vuông lớn

\( \Rightarrow {a_1} = 4{\rm{\;m}} \Rightarrow {S_1} = 16{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Ở bước tiếp theo, ta có 2 tam giác vuông cân nhỏ hơn ở hai đầu, mỗi tam giác vuông cân này có cạnh góc vuông bằng \(4{\rm{\;m}}\). Thiết lập hình vuông (2) trong mỗi tam giác này sẽ được hình vuông cạnh \(2{\rm{\;m}}\). Tổng diện tích 2 hình vuông (2) là: \({S_2} = 2 \times {2^2} = 8{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Tương tự, ở bước 3 ta có 2 hình vuông (3) với cạnh là \(1{\rm{\;m}} \Rightarrow {S_3} = 2 \times {1^2} = 2{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Tương tự, ở bước 4 ta có 2 hình vuông (4) với cạnh là \(\frac{1}{2}{\rm{\;m}} \Rightarrow {S_3} = 2 \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Cứ tiếp tục như trên, ta được dãy các diện tích \[{S_2},{S_3},{S_4},...\] lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({S_2} = 8\) và công bội \(q = \frac{1}{4}\).

Tổng diện tích được tô màu là: \(S = {S_1} + {S_n} = 16 + \frac{8}{{1 - \frac{1}{4}}} = 16 + \frac{{32}}{3} \approx 26,7{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Kết quả: 26,7.