PHẦN IV. Tự luận (1.5 điểm).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SD,CD\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

c) Tìm giao điểm của đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

d) Chứng minh mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\).

a) Sai. Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên góc \(\alpha \) nằm ở góc phần tư thứ II, suy ra \(\cos \alpha < 0\).

b) Sai. Ta có: \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{4}{5}\).

c) Sai. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = - \frac{3}{4}\).

d) Đúng. Áp dụng công thức cộng cho hàm tang:

\(\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{3}}}{{1 - \tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{3}}} = \frac{{ - \frac{3}{4} + \sqrt 3 }}{{1 - \left( { - \frac{3}{4}} \right) \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{\frac{{4\sqrt 3 - 3}}{4}}}{{\frac{{4 + 3\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{4\sqrt 3 - 3}}{{3\sqrt 3 + 4}}\).

Trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu với \(\left( {3\sqrt 3 - 4} \right)\):

\(\frac{{\left( {4\sqrt 3 - 3} \right)\left( {3\sqrt 3 - 4} \right)}}{{{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} - {4^2}}} = \frac{{36 - 16\sqrt 3 - 9\sqrt 3 + 12}}{{27 - 16}} = \frac{{48 - 25\sqrt 3 }}{{11}}\).

a) Đúng. Khi \(x = 2\), dựa theo nhánh thứ hai của hàm số ta có \(f\left( 2 \right) = 2\).

b) Sai. Khi \(x = 3 > 2\), dựa theo nhánh thứ nhất của hàm số ta có: \(f\left( 3 \right) = \frac{{{3^2} + 4 \cdot 3 - 12}}{{{3^2} - 4}} = \frac{{9 + 12 - 12}}{{9 - 4}} = \frac{9}{5}\).

c) Đúng. Với mọi \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\), biểu thức \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x - 12}}{{{x^2} - 4}}\) là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên toàn bộ khoảng này nên nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng, bao gồm cả điểm \(x = 3\).

d) Sai. Xét tính liên tục tại điểm giới hạn \(x = 2\):

Giá trị hàm số: \(f\left( 2 \right) = 2\).

Giới hạn bên trái: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x = 2\).

Giới hạn bên phải: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 4x - 12}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 6} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 6}}{{x + 2}} = \frac{{2 + 6}}{{2 + 2}} = 2\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 2\) nên hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\).