Cho các hàm số \({f_1}\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 2}}\); \({f_2}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}},x \ne - 2\\x - 1,\,\,\,\,\,\,x = - 2\end{array} \right.;\,\,\)

\({f_3}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 16}}{{\sqrt x - 2}}\,\,khi\,\,x > 4\\2x - m\,\,\,khi\,\,x \le 4\end{array} \right.\); \({f_4}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2 - {x^2}\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\\{k^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\\{\left( {x - 2} \right)^2}\,\,khi\,\,x > 1\end{array} \right.\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. Tập xác định: D = ℝ\{2}. Do đó x₀ = 2 $\notin$ D nên hàm số gián đoạn tại x₀ = 2.

b) Sai. Tập xác định: D = ℝ. Do đó, x₀ = -2 $\in$ D.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 4\], f(-2) = -3.

Do đó, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) \ne f\left( { - 2} \right)\] nên hàm số gián đoạn tại x₀ = -2.

c) Đúng. Tập xác định: D = ℝ. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {2x - m} \right) = 8 - m = f\left( 4 \right)\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{x^2} - 16}}{{\sqrt x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left[ {\left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right] = 32\]

Hàm số f(x) liên tục tại x = 4 khi và chỉ khi

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) \Leftrightarrow 8 - m = 32 \Leftrightarrow m = - 24.\]

d) Đúng. Tập xác định: D = ℝ. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = {k^2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\left( {x - 2} \right)^2} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2 - {x^2}} \right) = 1\end{array} \right.\).

Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 1 khi và chỉ khi

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne f\left( 1 \right) \Leftrightarrow {k^2} \ne 1 \Leftrightarrow k \ne \pm 1\).