Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1. Giá trị lớn nhất của P = 9xy + 10yz + 11zx là
\(maxP = \frac{{45}}{{18}}\);
\(maxP = \frac{{49}}{{148}}\);
\(maxP = \frac{{95}}{{148}}\);
\(maxP = \frac{{495}}{{148}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Để ý rằng, với giả thiết x + y + z = 1 thì
P = 9xy + 10yz + 11zx = 9xy + z(10y + 11x) = 9xy + (1 – x – y)(10y + 11x)
Khai triển và rút gọn, ta thu được: P = –11x2 – 10y2 + 11x + 10y – 12xy
Tương đương với 11x2 + (12y – 11)x + 10y2 – 10y + P = 0 (*)
Coi đây là tam thức bậc hai ẩn x, do điều kiện tồn tại của x nên suy ra (*) phải có nghiệm, tức Δ = (12y – 11)2 – 44(10y2 – 10y + P) ≥ 0
Hay –296y2 + 176y + 121 – 44P ≥ 0
\( \Leftrightarrow P \le -\frac{{74}}{{11}}\left( {{y^2}-\frac{{22}}{{37}}y-\frac{{121}}{{296}}} \right)\)
Ta có \({y^2}-\frac{{22}}{{37}}y-\frac{{121}}{{296}} \ge -\frac{{54\,\,45}}{{10\,\,952}}\)
Suy ra \(P \le \left( {-\frac{{74}}{{11}}} \right) \cdot \left( {-\frac{{5\,\,445}}{{10\,\,952}}} \right) = \frac{{495}}{{148}}\)
Vậy \(maxP = \frac{{495}}{{148}}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
(2; 2; 2);
(1; 1; 0);
(2; 2; 0);
(0; 0; 1).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có x + y + z ≥ xy + yz + zx ⇔ x + y + z ≥ (y + z)x + yz (1)
Ta giả sử z = min{x, y, z}. Suy ra 0 ≤ z ≤ 1. Từ giả thiết \(x = \frac{{4-yz}}{{y + z + yz}}\)
Nên \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{4-yz}}{{y + z + yz}} + y + z \ge \left( {y + z} \right)\frac{{4-yz}}{{y + z + yz}} + yz\)
\[ \Leftrightarrow \frac{{4-yz}}{{y + z + yz}}\left( {1 - y - z} \right) + y + z - yz \ge 0\]
⇔ (4 – yz)(1 – y – z) + (y + z – yz)(y + z + yz) ≥ 0
⇔ 4 – 4y – 4z – yz + y2z + yz2 + (y + z)2 – y2z2 ≥ 0
⇔ 4 – 4y – 4z – yz + y2z + yz2 + y2 + 2yz + z2 – y2z2 ≥ 0
⇔ f(y) = (1 + z – z2)y2 + (z2 + z – 4)y + (z – 2)2 ≥ 0.
Tam thức f(y) có hệ số a = 1 + z – z2 > 0 (do z ≤ 1) và có:
Δ = (z2 + z – 4)2 – 4(1 + z – z2)(z – 2)2
= z4 + z2 + 16 + 2z3 – 8z2 – 8z – (4 + 4z – 4z2)(z2 – 4z + 4)
= z4 + 2z3 – 7z2 – 8z + 16 – (4z2 – 16z + 16 + 4z3 – 16z2 + 16z – 4z4 + 16z3 – 16z2)
= z4 + 2z3 – 7z2 – 8z + 16 + 4z4 – 20z3 + 28z2 – 16
= 5z4 – 18z3 + 21z2 – 8z
= z(5z3 – 18z2 + 21z – 8)
= z(z – 1)2(5z – 8) ≤ 0 với mọi 0 ≤ z ≤ 1.
Do đó f(y) ≥ 0 với mọi y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = 0 hoặc z = 1.
Với z = 0 thì f(y) = y2 – 4y + 4 = 0 ⇔ y = 2. Khi đó \(x = \frac{{4-0}}{{2 + 0 + 0}} = 2.\)
Với z = 1 thì f(y) = y2 – 2y + 1 = 0 ⇔ y = 1. Khi đó \(x = \frac{{4-1 \cdot 1}}{{1 + 1 + 1 \cdot 1}} = 1.\)
Như vậy, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hoặc (x; y; z) = (2; 2; 0).
Câu 2
\( - \frac{1}{4}\);
0;
\( - \frac{{13}}{4}\);
–1.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có x2 + 3x – 1 – A = 0 (1)
Để phương trình (1) có nghiệm thì
Δ ≥ 0 ⇔ 32 – 4(–1 – A) ≥ 0
⇔ 13 + 4A ≥ 0
⇔ A ≥ \( - \frac{{13}}{4}\)
Dấu “=” xảy ra khi Δ = 0 hay x = \( - \frac{3}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \( - \frac{{13}}{4}\) khi x = \( - \frac{3}{2}\).
Câu 3
\(\frac{{1-3\sqrt 5 }}{2}\);
\(\frac{{1 + 3\sqrt 5 }}{2}\);
\(\frac{{-1-3\sqrt 5 }}{2}\);
\(\frac{{-1 + 3\sqrt 5 }}{2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
\(\frac{{-1 + 5\sqrt {13} }}{2}\);
\(\frac{{-9 + 5\sqrt {13} }}{{18}}\);
\[\frac{{-9 + 4\sqrt {13} }}{{18}}\];
\(\frac{{-1-5\sqrt {13} }}{2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. x = y = z = 2;
B. x = y = z = 1;
C. x = y = 1; z = 2;
D. x = 1; y = z = 2.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập