Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1. Giá trị lớn nhất của P = 9xy + 10yz + 11zx là
\(maxP = \frac{{45}}{{18}}\);
\(maxP = \frac{{49}}{{148}}\);
\(maxP = \frac{{95}}{{148}}\);
\(maxP = \frac{{495}}{{148}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Để ý rằng, với giả thiết x + y + z = 1 thì
P = 9xy + 10yz + 11zx = 9xy + z(10y + 11x) = 9xy + (1 – x – y)(10y + 11x)
Khai triển và rút gọn, ta thu được: P = –11x2 – 10y2 + 11x + 10y – 12xy
Tương đương với 11x2 + (12y – 11)x + 10y2 – 10y + P = 0 (*)
Coi đây là tam thức bậc hai ẩn x, do điều kiện tồn tại của x nên suy ra (*) phải có nghiệm, tức Δ = (12y – 11)2 – 44(10y2 – 10y + P) ≥ 0
Hay –296y2 + 176y + 121 – 44P ≥ 0
\( \Leftrightarrow P \le -\frac{{74}}{{11}}\left( {{y^2}-\frac{{22}}{{37}}y-\frac{{121}}{{296}}} \right)\)
Ta có \({y^2}-\frac{{22}}{{37}}y-\frac{{121}}{{296}} \ge -\frac{{54\,\,45}}{{10\,\,952}}\)
Suy ra \(P \le \left( {-\frac{{74}}{{11}}} \right) \cdot \left( {-\frac{{5\,\,445}}{{10\,\,952}}} \right) = \frac{{495}}{{148}}\)
Vậy \(maxP = \frac{{495}}{{148}}.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
(2; 2; 2);
(1; 1; 0);
(2; 2; 0);
(0; 0; 1).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có x + y + z ≥ xy + yz + zx ⇔ x + y + z ≥ (y + z)x + yz (1)
Ta giả sử z = min{x, y, z}. Suy ra 0 ≤ z ≤ 1. Từ giả thiết \(x = \frac{{4-yz}}{{y + z + yz}}\)
Nên \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{4-yz}}{{y + z + yz}} + y + z \ge \left( {y + z} \right)\frac{{4-yz}}{{y + z + yz}} + yz\)
\[ \Leftrightarrow \frac{{4-yz}}{{y + z + yz}}\left( {1 - y - z} \right) + y + z - yz \ge 0\]
⇔ (4 – yz)(1 – y – z) + (y + z – yz)(y + z + yz) ≥ 0
⇔ 4 – 4y – 4z – yz + y2z + yz2 + (y + z)2 – y2z2 ≥ 0
⇔ 4 – 4y – 4z – yz + y2z + yz2 + y2 + 2yz + z2 – y2z2 ≥ 0
⇔ f(y) = (1 + z – z2)y2 + (z2 + z – 4)y + (z – 2)2 ≥ 0.
Tam thức f(y) có hệ số a = 1 + z – z2 > 0 (do z ≤ 1) và có:
Δ = (z2 + z – 4)2 – 4(1 + z – z2)(z – 2)2
= z4 + z2 + 16 + 2z3 – 8z2 – 8z – (4 + 4z – 4z2)(z2 – 4z + 4)
= z4 + 2z3 – 7z2 – 8z + 16 – (4z2 – 16z + 16 + 4z3 – 16z2 + 16z – 4z4 + 16z3 – 16z2)
= z4 + 2z3 – 7z2 – 8z + 16 + 4z4 – 20z3 + 28z2 – 16
= 5z4 – 18z3 + 21z2 – 8z
= z(5z3 – 18z2 + 21z – 8)
= z(z – 1)2(5z – 8) ≤ 0 với mọi 0 ≤ z ≤ 1.
Do đó f(y) ≥ 0 với mọi y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = 0 hoặc z = 1.
Với z = 0 thì f(y) = y2 – 4y + 4 = 0 ⇔ y = 2. Khi đó \(x = \frac{{4-0}}{{2 + 0 + 0}} = 2.\)
Với z = 1 thì f(y) = y2 – 2y + 1 = 0 ⇔ y = 1. Khi đó \(x = \frac{{4-1 \cdot 1}}{{1 + 1 + 1 \cdot 1}} = 1.\)
Như vậy, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hoặc (x; y; z) = (2; 2; 0).
Câu 2
\(\frac{{-1 + 5\sqrt {13} }}{2}\);
\(\frac{{-9 + 5\sqrt {13} }}{{18}}\);
\[\frac{{-9 + 4\sqrt {13} }}{{18}}\];
\(\frac{{-1-5\sqrt {13} }}{2}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: P = 2a + 3b suy ra \(b = \frac{{P-2a}}{3}\)
Thay vào a2 + b2 = 4a – 3b ta được:
\({a^2} + {\left( {\frac{{P-2a}}{3}} \right)^2} = 4a-3\left( {\frac{{P-2a}}{3}} \right)\)
⇔ 13a2 – 2(27 + 2P)a + 9P + P2 = 0.
Ta cần tìm P để phương trình trên có nghiệm a, tức Δ’ ≥ 0
⇔ (27 + 2P)2 – 13.(9P + P2) = –9P2 – 9P + 729 ≥ 0
\( \Leftrightarrow \frac{{-1-5\sqrt {13} }}{2} \le P \le \frac{{-1 + 5\sqrt {13} }}{2}.\)
Câu 3
y ∈ ∅;
y ∈ ℝ;
\(-\frac{2}{3} \le y \le 0\);
\[y < - \frac{2}{3}\] hoặc y > 0.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. x = y = z = 2;
B. x = y = z = 1;
C. x = y = 1; z = 2;
D. x = 1; y = z = 2.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
\(\frac{{1-3\sqrt 5 }}{2}\);
\(\frac{{1 + 3\sqrt 5 }}{2}\);
\(\frac{{-1-3\sqrt 5 }}{2}\);
\(\frac{{-1 + 3\sqrt 5 }}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
–1;
2;
\(\frac{2}{3}\);
1.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập