Cho các số thực dương x, y, z. Ta chứng minh được xyz + 2(x2 + y2 + z2) + 8 ≥ 5(x + y + z). Dấu bằng xảy ra khi
A. x = y = z = 2;
B. x = y = z = 1;
C. x = y = 1; z = 2;
D. x = 1; y = z = 2.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: B
Trong ba số x, y, z luôn tồn tại hai số cùng không nhỏ hơn 1 hoặc cùng không lớn hơn 1. Ta giả sử hai số đó là x và y. Khi đó ta có:
(x – 1)(y – 1) ≥ 0 ⇔ xy ≥ x + y – 1
Suy ra xyz ≥ xz + yz – z.
Do đó xyz + 2(x2 + y2 + z2) + 8 ≥ xz + yz – z + 2(x2 + y2 + z2) + 8
Nên ta chứng minh:
xyz + 2(x2 + y2 + z2) + 8 ≥ 5(x + y + z)
⇔ xz + yz – z + 2(x2 + y2 + z2) + 8 – 5(x + y) – 5z ≥ 0
⇔ f(z) = 2z2 + (x + y – 6)z + 2(x2 + y2) – 5(x + y) + 8 ≥ 0.
Tam thức f(z) có a = 2 > 0 và
Δz = (x + y – 6)2 – 4.2.[ 2(x2 + y2) – 5(x + y) + 8]
= x2 + y2 + 36 + 2xy – 12x – 12y – 8(2x2 + 2y2 – 5x – 5y + 8)
= –15x2 – 15y2 + 2xy + 28x + 28y – 28
= –15x2 + 2(y + 14)x – 15y2 + 28y – 28
Coi Δz là tam thức bậc hai ẩn x, có a = –15 < 0 và
Δx’ = (y + 14)2 – (–15).(–15y2 + 28y – 28)
= y2 + 28y + 196 – 225y2 + 420y – 420
= –224y2 + 448y – 224
= –224(y – 1)2 ≤ 0 với mọi y ∈ ℝ.
Nên Δz ≤ 0 với mọi x, y ∈ ℝ.
Vậy f(z) ≥ 0 với mọi x, y, z ∈ ℝ.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
(2; 2; 2);
(1; 1; 0);
(2; 2; 0);
(0; 0; 1).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có x + y + z ≥ xy + yz + zx ⇔ x + y + z ≥ (y + z)x + yz (1)
Ta giả sử z = min{x, y, z}. Suy ra 0 ≤ z ≤ 1. Từ giả thiết \(x = \frac{{4-yz}}{{y + z + yz}}\)
Nên \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{4-yz}}{{y + z + yz}} + y + z \ge \left( {y + z} \right)\frac{{4-yz}}{{y + z + yz}} + yz\)
\[ \Leftrightarrow \frac{{4-yz}}{{y + z + yz}}\left( {1 - y - z} \right) + y + z - yz \ge 0\]
⇔ (4 – yz)(1 – y – z) + (y + z – yz)(y + z + yz) ≥ 0
⇔ 4 – 4y – 4z – yz + y2z + yz2 + (y + z)2 – y2z2 ≥ 0
⇔ 4 – 4y – 4z – yz + y2z + yz2 + y2 + 2yz + z2 – y2z2 ≥ 0
⇔ f(y) = (1 + z – z2)y2 + (z2 + z – 4)y + (z – 2)2 ≥ 0.
Tam thức f(y) có hệ số a = 1 + z – z2 > 0 (do z ≤ 1) và có:
Δ = (z2 + z – 4)2 – 4(1 + z – z2)(z – 2)2
= z4 + z2 + 16 + 2z3 – 8z2 – 8z – (4 + 4z – 4z2)(z2 – 4z + 4)
= z4 + 2z3 – 7z2 – 8z + 16 – (4z2 – 16z + 16 + 4z3 – 16z2 + 16z – 4z4 + 16z3 – 16z2)
= z4 + 2z3 – 7z2 – 8z + 16 + 4z4 – 20z3 + 28z2 – 16
= 5z4 – 18z3 + 21z2 – 8z
= z(5z3 – 18z2 + 21z – 8)
= z(z – 1)2(5z – 8) ≤ 0 với mọi 0 ≤ z ≤ 1.
Do đó f(y) ≥ 0 với mọi y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = 0 hoặc z = 1.
Với z = 0 thì f(y) = y2 – 4y + 4 = 0 ⇔ y = 2. Khi đó \(x = \frac{{4-0}}{{2 + 0 + 0}} = 2.\)
Với z = 1 thì f(y) = y2 – 2y + 1 = 0 ⇔ y = 1. Khi đó \(x = \frac{{4-1 \cdot 1}}{{1 + 1 + 1 \cdot 1}} = 1.\)
Như vậy, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hoặc (x; y; z) = (2; 2; 0).
Câu 2
\( - \frac{1}{4}\);
0;
\( - \frac{{13}}{4}\);
–1.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có x2 + 3x – 1 – A = 0 (1)
Để phương trình (1) có nghiệm thì
Δ ≥ 0 ⇔ 32 – 4(–1 – A) ≥ 0
⇔ 13 + 4A ≥ 0
⇔ A ≥ \( - \frac{{13}}{4}\)
Dấu “=” xảy ra khi Δ = 0 hay x = \( - \frac{3}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \( - \frac{{13}}{4}\) khi x = \( - \frac{3}{2}\).
Câu 3
\(maxP = \frac{{45}}{{18}}\);
\(maxP = \frac{{49}}{{148}}\);
\(maxP = \frac{{95}}{{148}}\);
\(maxP = \frac{{495}}{{148}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
\(\frac{{1-3\sqrt 5 }}{2}\);
\(\frac{{1 + 3\sqrt 5 }}{2}\);
\(\frac{{-1-3\sqrt 5 }}{2}\);
\(\frac{{-1 + 3\sqrt 5 }}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
\(\frac{{-1 + 5\sqrt {13} }}{2}\);
\(\frac{{-9 + 5\sqrt {13} }}{{18}}\);
\[\frac{{-9 + 4\sqrt {13} }}{{18}}\];
\(\frac{{-1-5\sqrt {13} }}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập