PHẦN IV. Câu tự luận (3,0 điểm)

(1,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(2MB = 3MC\).

a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AM}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {AC}  + \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} \).

b) Cho đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với \(BC\). Xác định vị trí điểm \(K\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho biểu thức \(P = \left| {5\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

a) ĐÚNG. \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ  = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\).

b) ĐÚNG. \(\left| {\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = AC = 4\).

c) SAI. Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\), theo công thức trung điểm ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

d) ĐÚNG. Ta biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {BE} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \): \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \).

Hai đường thẳng \(AD\) và \(BE\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BE}  = 0\):

\(\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  - {{\overrightarrow {AB} }^2} + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

Thay các giá trị \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 6\), \({\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = 9\), \({\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 16\):

\(k \cdot 6 - 9 + k \cdot 16 - 6 = 0 \Leftrightarrow 22k - 15 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{15}}{{22}}\).

Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng

Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \(\cos \left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{\left| {\vec u\left|  \cdot  \right|\vec v} \right|}}\).

Ta có:

\(\vec u \cdot \vec v = 1 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot 2 =  - 2 + 4 = 2\)

\(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \)

\(\left| {\vec v} \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 \)

Suy ra \(\cos \left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{2}{{\sqrt 5  \cdot 2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

Chọn D.