PHẦN IV. Câu tự luận (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(2MB = 3MC\).
a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} \).
b) Cho đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với \(BC\). Xác định vị trí điểm \(K\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho biểu thức \(P = \left| {5\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
PHẦN IV. Câu tự luận (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(2MB = 3MC\).a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} \).
b) Cho đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với \(BC\). Xác định vị trí điểm \(K\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho biểu thức \(P = \left| {5\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì \(M\) thuộc đoạn thẳng \(BC\) và \(2MB = 3MC \Rightarrow \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{3}{2}\), do đó: \(\overrightarrow {BM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} \).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \left( {1 - \frac{3}{5}} \right)\overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} \).
b) Từ giả thiết \(2MB = 3MC\) và \(M \in BC\), ta có điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức vectơ:
\(2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0\).
Ta có \(5\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = 5\overrightarrow {KA} + 2\left( {\overrightarrow {KM} + \overrightarrow {MB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {KM} + \overrightarrow {MC} } \right)\)
\( = 5\overrightarrow {KA} + 5\overrightarrow {KM} + \left( {2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right) = 5\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KM} } \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AM\), suy ra \(\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KM} = 2\overrightarrow {KI} \).
Khi đó: \(P = \left| {5 \cdot 2\overrightarrow {KI} } \right| = 10KI\).
Để \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn thẳng \(KI\) phải ngắn nhất.
Vì \(K\) di động trên đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với \(BC\), \(KI\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên đường thẳng \(d\).
Do \(d{\rm{//}}BC\) và \(AM\) cắt \(BC\) tại \(M\), hình chiếu \(K\) chính là chân đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến \(d\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Độ chính xác \(d = 300\) thuộc hàng trăm. Theo quy tắc quy tròn số gần đúng, ta quy tròn \(a\) đến hàng nghìn (hàng lớn hơn hàng của độ chính xác một đơn vị).
Chữ số ở hàng nghìn của \(a = 8\,141\,378\) là \(1\), chữ số ngay sau nó (hàng trăm) là \(3 < 5\).
Do đó, quy tròn \(a\) đến hàng nghìn ta được \(8\,141\,000\).
Chọn D.
Câu 2
Lời giải
a) ĐÚNG. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\).
b) ĐÚNG. \(\left| {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = AC = 4\).
c) SAI. Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\), theo công thức trung điểm ta có: \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
d) ĐÚNG. Ta biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {BE} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \): \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).
Hai đường thẳng \(AD\) và \(BE\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = 0\):
\(\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - {{\overrightarrow {AB} }^2} + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)
Thay các giá trị \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 6\), \({\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = 9\), \({\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 16\):
\(k \cdot 6 - 9 + k \cdot 16 - 6 = 0 \Leftrightarrow 22k - 15 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{15}}{{22}}\).
Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập