Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CD. Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau:
a. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) là góc \(\widehat {AMD}\).
b. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD) là góc \(\widehat {ANB}\).
c. Giá trị cos α = \(\frac{1}{3}\).
d. Số đo góc α lớn hơn 60°.
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vì ABCD là tứ diện đều nên các mặt đều là tam giác đều
⇒ AM ⊥ BC (vì M là trung điểm của BC trong tam giác đều ABC) và DM ⊥ BC (vì M là trung điểm của BC trong tam giác đều BCD)
Mà AM ⊂ (ABC) và DM ⊂ (BCD)
⇒ Góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa (ABC) và (BCD) là góc α = \(\widehat {AMD}\).
b) Sai. Ta có: (ABC) ∩ (ACD) = AC
Vì N là trung điểm của CD nên AN ⊥ CD (trong tam giác đều ACD);
BN ⊥ CD (trong tam giác đều BCD)
⇒ AN và BN đều vuông góc với CD, không phải vuông góc với giao tuyến AC
⇒ \(\widehat {ANB}\) không phải là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD).
c) Đúng. Theo câu a), α = \(\widehat {AMD}\)
Xét tam giác AMD: AM = DM = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), AD = a.
Áp dụng định lí côsin: AD2 = AM2 + DM2 – 2 ⋅ AM ⋅ DM ⋅ cos α
⇔ a2 = 2\({\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\) – 2\({\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\)cos α ⇔ a2 = \(\frac{{3{a^2}}}{2}\)(1 – cos α) ⇔ 1 – cos α = \(\frac{2}{3}\)
⇔ cos α = \(\frac{1}{3}\).
d) Đúng. Theo câu c), cos α = \(\frac{1}{3}\)
Vì cos 60° = \(\frac{1}{2}\) > \(\frac{1}{3}\), mà hàm số cosx nghịch biến trên khoảng (0°; 180°), nên α > 60°.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Góc β bằng 45°.
b. Góc α bằng 60°.
c. sin α = \(\frac{1}{2}\).
d. Góc β lớn hơn góc α.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC, AB ⊥ BC
⇒ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB, mà SA và AB cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAB)
⇒ BC ⊥ (SAB)
Lại có: (SAB) ∩ (SBC) = SB, (SAB) ∩ (ABCD) = AB
Do đó góc giữa (SBC) và (ABCD) là β = \(\widehat {SBA}\)
Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA = AB = a ⇒ Tam giác SAB vuông cân tại A
⇒ β = \(\widehat {SBA}\) = 45°.
b) Sai. Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD
Mà ABCD là hình chữ nhật ⇒ AD ⊥ CD
⇒ CD ⊥ SA, CD ⊥ AD, mà SA và AD cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAD)
⇒ CD ⊥ (SAD)
Mặt khác, (SAD) ∩ (SCD) = SD, (SAD) ∩ (ABCD) = AD
⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là \(\widehat {SDA}\) = α
Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AD ⇒ Tam giác SAD vuông tại A
Xét tam giác vuông SAD tại A: tan α = \(\frac{{SA}}{{AD}}\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 3 }}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) ⇒ α = 30°.
c) Đúng. Theo câu b), góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là \(\widehat {SDA}\) = α
Xét tam giác vuông SAD tại A:
SD = \(\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} \) = \(\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} \) = 2a (định lý Pytago)
⇒ sin α = sin\(\widehat {SDA}\) = \(\frac{{SA}}{{SD}}\) = \(\frac{a}{{2a}}\) = \(\frac{1}{2}\).
d) Đúng. Theo câu a), b): β = 45°, α = 30°
⇒ β > α.
Câu 2
Góc \(\widehat {SDA}\).
Góc \(\widehat {SCA}\).
Góc \(\widehat {SCB}\).
Góc \(\widehat {ASD}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD
Vì ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD (1)
Mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD (2)
Từ (1), (2) ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD tại D
Ta có: AD ⊂ (ABCD) và AD ⊥ CD tại D; SD ⊂ (SCD) và SD ⊥ CD tại D
⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng SD và AD, tức là góc \(\widehat {SDA}\).
Câu 3
30°;
60°;
90°;
45°.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
30°.
45°.
60°.
90°.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc \(\widehat {SBA}\).
b. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc \(\widehat {SMA}\).
c. Giá trị tan α = \(\sqrt 3 \).
d. Số đo của góc α bằng 30°.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc \(\widehat {SBA}\).
b. Số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60°.
c. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc \(\widehat {SOA}\).
d. Giá trị tang của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng \(\sqrt 2 \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập