Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CD. Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau:
a. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) là góc \(\widehat {AMD}\).
b. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD) là góc \(\widehat {ANB}\).
c. Giá trị cos α = \(\frac{1}{3}\).
d. Số đo góc α lớn hơn 60°.
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vì ABCD là tứ diện đều nên các mặt đều là tam giác đều
⇒ AM ⊥ BC (vì M là trung điểm của BC trong tam giác đều ABC) và DM ⊥ BC (vì M là trung điểm của BC trong tam giác đều BCD)
Mà AM ⊂ (ABC) và DM ⊂ (BCD)
⇒ Góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa (ABC) và (BCD) là góc α = \(\widehat {AMD}\).
b) Sai. Ta có: (ABC) ∩ (ACD) = AC
Vì N là trung điểm của CD nên AN ⊥ CD (trong tam giác đều ACD);
BN ⊥ CD (trong tam giác đều BCD)
⇒ AN và BN đều vuông góc với CD, không phải vuông góc với giao tuyến AC
⇒ \(\widehat {ANB}\) không phải là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD).
c) Đúng. Theo câu a), α = \(\widehat {AMD}\)
Xét tam giác AMD: AM = DM = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), AD = a.
Áp dụng định lí côsin: AD2 = AM2 + DM2 – 2 ⋅ AM ⋅ DM ⋅ cos α
⇔ a2 = 2\({\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\) – 2\({\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\)cos α ⇔ a2 = \(\frac{{3{a^2}}}{2}\)(1 – cos α) ⇔ 1 – cos α = \(\frac{2}{3}\)
⇔ cos α = \(\frac{1}{3}\).
d) Đúng. Theo câu c), cos α = \(\frac{1}{3}\)
Vì cos 60° = \(\frac{1}{2}\) > \(\frac{1}{3}\), mà hàm số cosx nghịch biến trên khoảng (0°; 180°), nên α > 60°.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Góc β bằng 45°.
b. Góc α bằng 60°.
c. sin α = \(\frac{1}{2}\).
d. Góc β lớn hơn góc α.
Lời giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC, AB ⊥ BC
⇒ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB, mà SA và AB cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAB)
⇒ BC ⊥ (SAB)
Lại có: (SAB) ∩ (SBC) = SB, (SAB) ∩ (ABCD) = AB
Do đó góc giữa (SBC) và (ABCD) là β = \(\widehat {SBA}\)
Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA = AB = a ⇒ Tam giác SAB vuông cân tại A
⇒ β = \(\widehat {SBA}\) = 45°.
b) Sai. Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD
Mà ABCD là hình chữ nhật ⇒ AD ⊥ CD
⇒ CD ⊥ SA, CD ⊥ AD, mà SA và AD cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAD)
⇒ CD ⊥ (SAD)
Mặt khác, (SAD) ∩ (SCD) = SD, (SAD) ∩ (ABCD) = AD
⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là \(\widehat {SDA}\) = α
Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AD ⇒ Tam giác SAD vuông tại A
Xét tam giác vuông SAD tại A: tan α = \(\frac{{SA}}{{AD}}\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 3 }}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) ⇒ α = 30°.
c) Đúng. Theo câu b), góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là \(\widehat {SDA}\) = α
Xét tam giác vuông SAD tại A:
SD = \(\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} \) = \(\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} \) = 2a (định lý Pytago)
⇒ sin α = sin\(\widehat {SDA}\) = \(\frac{{SA}}{{SD}}\) = \(\frac{a}{{2a}}\) = \(\frac{1}{2}\).
d) Đúng. Theo câu a), b): β = 45°, α = 30°
⇒ β > α.
Câu 2
30°.
45°.
60°.
90°.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: (SBC) ∩ (ABC) = BC
Gọi H là trung điểm của cạnh BC
Vì △ABC vuông cân tại A ⇒ AH ⊥ BC tại H (1)
Mặt khác, do SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC
Từ AH ⊥ BC, SA ⊥ BC, mà AH và SA cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAH)
⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH tại H (2).
Từ (1), (2) ⇒ ((SBC), (ABC)) = (SH, AH) = \(\widehat {SHA}\)
Xét △ABC vuông cân tại A:
BC = \(\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = 2a (định lý Pytago)
Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ABC:
⇒ AH = \(\frac{{BC}}{2}\) = \(\frac{{2a}}{2}\) = a
Do SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AH ⇒ △SAH vuông tại A
⇒ tan\(\widehat {SHA}\) = \(\frac{{SA}}{{AH}}\) = \(\frac{a}{a}\) = 1 ⇒ \(\widehat {SHA}\) = 45°.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Góc \(\widehat {SDA}\).
Góc \(\widehat {SCA}\).
Góc \(\widehat {SCB}\).
Góc \(\widehat {ASD}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
30°;
60°;
90°;
45°.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc \(\widehat {SBA}\).
b. Số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60°.
c. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc \(\widehat {SOA}\).
d. Giá trị tang của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng \(\sqrt 2 \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập