Cho hình vuông \(ABCD.\) Gọi \({S_1}\) là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính \(AB\) và \(AD,\) \({S_2}\) là diện tích phần còn lại của hình vuông nằm ngoài hai nửa đường tròn nêu trên (như Hình vẽ 1, \({S_1}\) là diện tích phần gạch chéo, \({S_2}\) là diện tích phần chấm). Trong miền chấm có diện tích \({S_2}\) người ta vẽ một hình tròn tiếp xúc với hai cạnh của hình vuông và tiếp xúc ngoài với hai nửa đường tròn đường kính \(AB,AD\) (như Hình vẽ 2). Biết \({S_1} = \frac{{\pi - 2}}{8},\) diện tích phần chấm còn lại của \({S_2}\) ở ngoài miền hình tròn là

Đáp án đúng là: C

⦁ Gọi độ dài cạnh hình vuông \(ABCD\) là \(a\) (\(a > 0\)).

Hai nửa đường tròn đường kính \(AB\) và \(AD\) sẽ có bán kính là \(R = \frac{a}{2}\).

Ta xét miền giao nhau \({S_1}\):

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\). Giao điểm của hai nửa đường tròn chính là \(A\) và \(O\).

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\) (đây cũng là tâm của hai nửa đường tròn). Tứ giác \(AMON\) là hình vuông có cạnh bằng \(\frac{a}{2}\).

Phần diện tích \({S_1}\) được tạo thành từ 2 hình viên phân bằng nhau (nằm trong hình vuông con \(AMON\)).

Diện tích một phần tư hình tròn tâm \(N\) (hoặc \(M\)) bán kính \(\frac{a}{2}\) là: \({S_{\frac{1}{4}{\rm{tr\`o n}}}} = \frac{1}{4}\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{{16}}\)

Diện tích tam giác vuông \(ANO\) là: \({S_{\Delta ANO}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{8}\)

Diện tích một hình viên phân là: \(\frac{{\pi {a^2}}}{{16}} - \frac{{{a^2}}}{8}\)

Do đó, diện tích phần giao \({S_1}\) là:

\({S_1} = 2\left( {\frac{{\pi {a^2}}}{{16}} - \frac{{{a^2}}}{8}} \right) = \frac{{\pi {a^2}}}{8} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{\left( {\pi - 2} \right){a^2}}}{8}\)

Theo giả thiết đề bài, \({S_1} = \frac{{\pi - 2}}{8}\). Từ đó ta có phương trình:

\(\frac{{\left( {\pi - 2} \right){a^2}}}{8} = \frac{{\pi - 2}}{8}\)

\({a^2} = 1\)

\(a = 1\)

Vậy cạnh hình vuông \(ABCD\) có độ dài bằng \(1\).

⦁ Diện tích toàn bộ hình vuông là: \({S_{ABCD}} = {1^2} = 1\).

Tổng diện tích hai nửa đường tròn là: \(2 \cdot \left[ {\frac{1}{2}\pi {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \right] = \frac{\pi }{4}\).

Diện tích hình gộp bởi hai nửa đường tròn này là tổng diện tích hai nửa đường tròn trừ đi phần giao nhau \({S_1}\):

\({S_{{\rm{gop}}}} = \frac{\pi }{4} - \frac{{\pi - 2}}{8} = \frac{{2\pi - \pi + 2}}{8} = \frac{{\pi + 2}}{8}\)

Diện tích \({S_2}\) ban đầu sẽ là:

\({S_2} = {S_{ABCD}} - {S_{{\rm{gop}}}} = 1 - \frac{{\pi + 2}}{8} = \frac{{8 - \pi - 2}}{8} = \frac{{6 - \pi }}{8}\).

⦁ Gọi \(I\) là tâm và \(r\) là bán kính của hình tròn nhỏ (\(0 < r < 1\)).

Hình tròn này tiếp xúc với hai cạnh \(BC,CD\) và tiếp xúc ngoài với nửa đường tròn đường kính \(AD\).

Kẻ vuông góc từ \(I\) xuống cạnh \(AD\) cắt tại \(H\), và vuông góc xuống \(CD\) cắt tại \(K\).

Vì hình tròn tâm \(I\) tiếp xúc với \(CD\) và \(BC\) nên khoảng cách từ \(I\) đến \(CD\) và \(BC\) đều bằng \(r\).

Từ đó ta có khoảng cách \(DH = r\) và khoảng cách từ \(I\) xuống \(AD\) (chính là \(IH\)) sẽ bằng \(1 - r\).

Độ dài đoạn \(NH = ND - DH = 0,5 - r\).

Vì hình tròn nhỏ tiếp xúc ngoài với nửa đường tròn tâm \(N\), nên khoảng cách giữa hai tâm là: \(IN = R + r = 0,5 + r\).

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \(IHN\): \(I{N^2} = I{H^2} + N{H^2}\)

\({\left( {0,5 + r} \right)^2} = {\left( {1 - r} \right)^2} + {\left( {0,5 - r} \right)^2}\)

\(0,25 + r + {r^2} = 1 - 2r + {r^2} + 0,25 - r + {r^2}\)

\({r^2} - 4r + 1 = 0\)

Giải phương trình bậc 2 này, ta được hai nghiệm: \(r = 2 + \sqrt 3 \); \(r = 2 - \sqrt 3 \).

Vì bán kính \(r\) phải nhỏ hơn cạnh hình vuông (\(r < 1\)), ta nhận nghiệm \(r = 2 - \sqrt 3 \).

⦁ Diện tích hình tròn tâm \(I\) là: \({S_{{\rm{tr\`o n}}}} = \pi {r^2} = \pi {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = \pi \left( {4 - 4\sqrt 3 + 3} \right) = \pi \left( {7 - 4\sqrt 3 } \right)\).

Diện tích phần chấm còn lại là:

\( = \frac{{6 - \pi }}{8} - \pi \left( {7 - 4\sqrt 3 } \right)\)\( = \frac{{6 - \pi - 8\pi \left( {7 - 4\sqrt 3 } \right)}}{8}\)

\( = \frac{{6 - \pi - 56\pi + 32\pi \sqrt 3 }}{8}\)\( = \frac{{6 - 57\pi + 32\pi \sqrt 3 }}{8}\)\( = \frac{{6 - \pi \left( {57 - 32\sqrt 3 } \right)}}{8}.\)

Vậy kết quả diện tích phần chấm còn lại của \({S_2}\) ở ngoài miền hình tròn là \(\frac{{6 - \pi \left( {57 - 32\sqrt 3 } \right)}}{8}.\).