Cho hình nón có đường sinh bằng \(4,5{\rm{ cm}}\) và đường kính đáy bằng \(5{\rm{ cm}}\). Hỏi diện tích xung quanh của hình nón đó bằng bao nhiêu centimét vuông (lấy \(\pi \approx 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

a) Vì \(SA,SB\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {SAO} = \widehat {SBO} = 90^\circ \)

\(\Delta SAO\) vuông tại \(A\) nên \(\Delta SAO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\).

\(\Delta SBO\) vuông tại \(B\) nên \(\Delta SBO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\).

Nên bốn điểm \(S,A,O,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(SO\).

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(SA = SB\)

và \(OA = OB\) (đều bằng bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\)) nên \(SO\) là trung trực của \(AB\).

Suy ra \(SO \bot AB\) tại trung điểm \(F\) của \(AB\).

$\Delta OAF\backsim \Delta OSA$ (g.g) vì \(\widehat {OAS} = \widehat {OFA} = 90^\circ \) và chung \(\widehat {SOA}\)

Suy ra \(\frac{{OA}}{{OS}} = \frac{{OF}}{{OA}}\) nên \(O{A^2} = OF \cdot OS\)

Mà \(OA = OC\) nên \(O{C^2} = OF \cdot OS\) hay \(\frac{{OC}}{{OF}} = \frac{{OS}}{{OC}}\)

$\Delta OCF\backsim \Delta OSC$ (c.g.c) vì chung \(\widehat {SOC}\) và \(\frac{{OC}}{{OS}} = \frac{{OF}}{{OC}}\)

Suy ra \(\widehat {OCF} = \widehat {OSC}\)

Vì \(SO \bot AB\) và \(BA \bot AC\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(SO\,{\rm{//}}\,AC\)

Suy ra \(\widehat {OSC} = \widehat {ACS}\) (hai góc so le trong)

Nên \(\widehat {OCF} = \widehat {ACS}\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(\widehat {FBC} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

Do đó, $\Delta CBF\backsim \Delta CDA$ (g.g) vì: \(\widehat {CBF} = \widehat {CDA}\) và \(\widehat {BCF} = \widehat {ACD}\)

Suy ra \(\frac{{BC}}{{BF}} = \frac{{DC}}{{DA}}\) hay \(\frac{{2BO}}{{BF}} = \frac{{2DK}}{{DA}}\) nên \(\frac{{BO}}{{BF}} = \frac{{DK}}{{DA}}\) hay \(\frac{{BF}}{{DA}} = \frac{{BO}}{{DK}}\) (vì \[O,{\rm{ }}K\] lần lượt là trung điểm của \[BC,{\rm{ }}DC)\]

$\Delta BFO\backsim \Delta DAK$ (c.g.c) vì: \(\widehat {FBO} = \widehat {KDA}\) và \(\frac{{BF}}{{DA}} = \frac{{BO}}{{DK}}\)

Suy ra \(\widehat {DAK} = \widehat {BFO} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {DAE} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\))

Nên ba điểm \[A,{\rm{ }}K,{\rm{ }}E\] thẳng hàng.

Lại có: \(\widehat {BDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\))

Nên \(\widehat {SDB} = 90^\circ \)

\(\Delta SDB\) vuông tại \[D\] nên \(\Delta SDB\) nội tiếp đường tròn đường kính \[SB.\]

\(\Delta SFB\) vuông tại \[F\] nên \(\Delta SFB\) nội tiếp đường tròn đường kính \[SB.\]

Nên bốn điểm \[S,{\rm{ }}D,{\rm{ }}F,{\rm{ }}B\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[SB.\]

Suy ra \(\widehat {SDF} + \widehat {SBF} = 180^\circ \) (tính chất)

Do đó, \(\widehat {CDF} = 180^\circ  - \widehat {SDF} = \widehat {SBF}\)

Từ $\Delta BFO\backsim \Delta DAK$ suy ra \(\widehat {AKD} = \widehat {BOF}\)

Mà \(\widehat {BOF} = \widehat {SBF\,\,}\left( { = 90^\circ  - \widehat {FOB}} \right)\)

Nên \(\widehat {AKD} = \widehat {BOF} = \widehat {SBF} = \widehat {CDF}\) và hai góc ở vị trí so le trong

Suy ra \[DF\,{\rm{//}}\,EK.\]

Đáp án: 1,15.

Dựa vào Hình 1 và 2, tấm gỗ có dạng hình chữ nhật với chiều dài \(AB = 1,6\) m và chiều rộng \(AD = 0,8\) m.

Đầu tiên, cắt theo cung tròn \[BE\] tâm \[A.\] Vì tâm là \[A\] và cung tròn đi qua \[B\] nên bán kính đường tròn chính là cạnh đáy \(AB = 1,6\) m.

Diện tích của phần gỗ (trước khi khoét bánh xe) bao gồm tam giác vuông \[ADE\] và hình quạt \[ABE.\]

Trong tam giác vuông \[ADE\] vuông tại \[D,\] ta có \(AD = 0,8\) m và cạnh huyền \(AE = 1,6\) m (bằng bán kính).

Tính góc \[DAE:\] \(\cos \widehat {DAE} = \frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{0,8}}{{1,6}} = \frac{1}{2}\), suy ra \(\widehat {DAE} = 60^\circ \).

Góc của hình quạt \[ABE\] là \(\widehat {EAB} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \).

Tính độ dài \(DE = \sqrt {A{E^2} - A{D^2}}  = \sqrt {{{1,6}^2} - {{0,8}^2}}  = \sqrt {1,92} \) m.

Diện tích tam giác \[ADE\] là: \({S_1} = \frac{1}{2} \cdot 0,8 \cdot \sqrt {1,92}  \approx 0,5543\) m².

Diện tích hình quạt \[ABE\] là: \({S_2} = \frac{{30}}{{360}} \cdot 3,14 \cdot {1,6^2} \approx 0,6699\) m².

Diện tích phần thân xe là \({S_{th{\rm{\^a }}n}} = {S_1} + {S_2} = 0,5543 + 0,6699 = 1,2242\) m².

Khoét bỏ hai bánh xe dạng nửa hình tròn đường kính 0,3 m, tương đương với việc trừ đi diện tích của một hình tròn hoàn chỉnh có bán kính \(r = 0,15\) m.

Diện tích bị khoét: \({S_{kho{\rm{\'e }}t}} = 3,14 \cdot {0,15^2} = 0,07065\) m².

Diện tích phần gỗ còn lại là \(S = 1,2242 - 0,07065 = 1,15355\) m2. Làm tròn đến hàng phần trăm, kết quả là 1,15 mét vuông.