Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a = 1\). Hai điểm \(M,N\) theo thứ tự thay đổi trên các đoạn \(AB\) và \(CD\) sao cho \(BM = DN\).
Giá trị lớn nhất của \(MN\) là __ , nhỏ nhất của \(MN\) là __________ .
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 1; \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Đặt \(\frac{{BM}}{{BA}} = x\), với \(0 \le x \le 1 \Rightarrow \frac{{DN}}{{DC}} = x\).
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {BM} = x \cdot \overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {DN} = x \cdot \overrightarrow {DC} \).
Ta có \(\overrightarrow {DN} = x \cdot \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BD} = x\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = x\overrightarrow {BC} + \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {BD} \).
Do đó \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} = x\overrightarrow {BC} + \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {BD} - x\overrightarrow {BA} \).
Khi đó, \({\rm{M}}{{\rm{N}}^2} = {x^2}{a^2} + {\left( {1 - x} \right)^2}{a^2} + {x^2}{a^2} + 2x\left( {1 - x} \right)\frac{{{a^2}}}{2} - 2{x^2} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} - 2x\left( {1 - x} \right)\frac{{{a^2}}}{2}\)
\( = \left[ {{x^2} + {{(1 - x)}^2} + {x^2} + x\left( {1 - x} \right) - {x^2} - x\left( {1 - x} \right)} \right] \cdot {a^2}\)\( = \left[ {2{x^2} - 2x + 1} \right] \cdot {a^2}\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) ta có:
\({\rm{max}}f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 1,{\rm{min}}f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\).
MN đạt giá trị lớn nhất bằng \(m = 1\) khi \(M \equiv B,N \equiv D\) hoặc \(M \equiv A,N \equiv C\).
MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(n = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) khi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1\).
\(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 3\).
\(\left| {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 3\).
Lời giải
Đáp án: Sai – Đúng – Sai.
Ta có \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos 120^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 1.\) Vậy phát biểu thứ nhất sai.
Lại có \({\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} = 4,{\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 1\).
Khi đó ta có \(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 4 - 1 = 3\). Vậy phát biểu thứ hai đúng.
Ta có \({\left| {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = 4{\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 4 \cdot 4 - 4 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 = 21 \Rightarrow \left| {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \sqrt {21} \).
Vậy phát biểu thứ ba sai.
Lời giải
Đáp án: 718.
Ta có \(f'\left( x \right) = \int {f''\left( x \right)dx} = \int {\left( {12{x^2} + 6x - 2} \right)dx} = 4{x^3} + 3{x^2} - 2x + {C_1}\).
Suy ra \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {4{x^3} + 3{x^2} - 2x + {C_1}} \right)dx} = {x^4} + {x^3} - {x^2} + {C_1}x + {C_2}\).
Theo giả thiết, ta có
Suy ra \(f\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - {x^2} - 2x + 3\). Vậy \(f\left( 5 \right) = 718\).
Câu 3
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\).
Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang.
Đường thẳng \(y = 1\) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
\(f\left( { - 2} \right) = 13\).
\(\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} = \frac{{14}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
112995.
72900.
14580.
58320.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:
Một chuỗi nhà hàng ăn nhanh bán đồ ăn từ \(10h00\) sáng đến \(22h00\) mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ \(10h00\) đến \(18h00\) và ca II từ \(14h00\) đến \(22h00\).
Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ như bảng sau:
|
Khoảng thời gian làm việc |
Tiền lương/giờ |
|
\(10h00 - 18h00\) |
20000 đồng |
|
\(14h00 - 22h00\) |
22000 đồng |
Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng \(10h00 - 18h00\), tối thiểu 24 nhân viên trong thời gian cao điểm \(14h00 - 22h00\) và không quá 20 nhân viên trong khoảng \(18h00 - 22h00\). Do lượng khách trong khoảng \(14h00 - 22h00\) thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I. Chủ chuỗi nhà hàng cần huy động số lượng nhân viên cho hai ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.
Khi đó cần có __ nhân viên ca I và ___ nhân viên ca II.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
\(\frac{{10}}{{21}}\).
\(\frac{{11}}{{21}}\).
\(\frac{5}{{21}}\).
\(\frac{4}{{21}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập