Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + a{x^2} + bx + c\) có bảng biến thiên được cho như hình vẽ.

Có bao nhiêu số âm trong các hệ số a, b, c?

Đáp án: \(\frac{a}{{\sqrt 2 }};60^\circ \).

Kẻ \(MJ \bot AB\) suy ra \(AJ = \frac{t}{{\sqrt 2 }}\). Kẻ \(JI \bot A'B'\). Dễ thấy \(J,N,I\) thẳng hàng.

Ta có: \(M{N^2} = M{J^2} + J{N^2} = \frac{{{t^2}}}{2} + {\left( {a - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = {t^2} - a\sqrt 2 t + {a^2} = {\left( {t - \frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{{{a^2}}}{2} \ge \frac{{{a^2}}}{2}\)

Suy ra \(MN \ge \frac{a}{{\sqrt 2 }}\). Dấu "=" xảy ra khi \(t = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Khi đó \(M;N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(A'B\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(MN\) là \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Dễ thấy khi đó \(MN//B'C\left( {//A'D} \right)\) nên \(\left( {MN,AC} \right) = \left( {B'C,AC} \right) = \widehat {B'CA}\).

Mà ta có tam giác \(AB'C\) đều nên \(\widehat {B'CA} = 60^\circ \).

Do đó \(\left( {MN,AC} \right) = 60^\circ \).

Đáp án: \( - 6;3\).

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;6; - 2} \right)\)

Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_D} + 1;{y_D} - 6;{z_D} + 1} \right) = \left( { - 5;6; - 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} + 1 = - 5}\\{{y_D} - 6 = 6}\\{{z_D} + 1 = - 2}\end{array} \Rightarrow D\left( { - 6;12; - 3} \right)} \right.\).

Đường thẳng BC đi qua \(B\left( {2; - 1;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;6; - 2} \right)\) làm một vecto chỉ phương có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 5t}\\{y = - 1 + 6t}\\{z = 3 - 2t}\end{array}} \right.\)

Vì \(H \in BC\) nên \(H\left( {2 - 5t; - 1 + 6t;3 - 2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} \left( {3 - 5t; - 7 + 6t;4 - 2t} \right)\).

Vì \(H\) là chân đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(AH \bot BC\).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow - 5\left( {3 - 5t} \right) + 6\left( { - 7 + 6t} \right) - 2\left( {4 - 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

\( \Rightarrow H\left( { - 3;5;1} \right)\). Khi đó \(a + b + c = 3\).