Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 22

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

Trên một chiếc Radio FM có vạch chia để người dùng có thể dò sóng cần tìm. Vạch ngoài cùng bên trái và vạch ngoài cùng bên phải tương ứng với 88\(\;Mhz\) và 108 \(Mhz\). Hai vạch này cách nhau 10 \(cm\). Biết vị trí của vạch cách vạch ngoài cùng bên trái \(d\;\left( {cm} \right)\) thì có tần số \(k{\alpha ^d}\;\left( {Mhz} \right)\) với \(k\;\)và \(\alpha \) là hai hằng số. Tìm vị trí tốt nhất của vạch để bắt sóng \(VO{V_1}\) với tần số \(102,7\;Mhz\).

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một vật chuyển động theo qui luật \(S = - {t^3} + 9{t^2} + t + 10\), với \(t\;\)(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và \(S\;\)(mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 12 giây, vận tốc lớn nhất của vật là ___ \(\left( {{\rm{m/s}}} \right).\)

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho $\underset{0}{\overset{7}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=49$ và $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=21$. Khi đó giá trị của $T=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{5}{\overset{7}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ là ___.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{e}}^{2x}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi\;x\;}} \ge 0\\{x^2} + x + 2\;\;{\rm{khi\;x\;}} < 0\end{array} \right.\). Biết tích phân $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\frac{a}{b}+\frac{{\text{e}}^2}{c}$ ( \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị \(a + b + c\) bằng

Cho phương trình \(\frac{{{\rm{sin}}2x - {\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}x + 1}} = 0\). Mỗi phát biểu sau đúng hay sai.

Cho \(\left( P \right):4x - 4y - 6z + 1 = 0\), đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 2t}\\{x = 0}\end{array}} \right.\) và \(\left( {{d_1}} \right)\) : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 3t'}\\{y = 2 - 2t'}\\{x = 1 + 2t'}\end{array}} \right.\). Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) đồng thời cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\). Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Người ta dùng máy đào hầm (TBM) để đào hai đường hầm hình trụ tròn xoay đường kính \(12m\), mỗi đường hầm đều có chiều dài bằng \(20m\), có hai trục cắt nhau và vuông góc với nhau. Tính thể tích khối đất đào được.

Cho hàm số y \( = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\frac{{{m^3} + 5m}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} }} = {f^2}\left( x \right) + 6\) có đúng bốn nghiệm thực phân biệt.

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Biết $L=\underset{x\to 7}{\text{lim}}\left(\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}\right)=\frac{a}{b}$, với \(a,b \in \mathbb{Z},\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khi đó \(a - {b^2} = \) _____ .

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 3 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số \(v\left( t \right) = - 0,1{t^3} + {t^2}\), trong đó \(t\) tính theo tuần, \(v\left( t \right)\) tính bằng centimét/tuần. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

.

Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 10 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị là

Một người gọi điện thoại nhưng quên mất chữ số cuối. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Giả sử có một ngọn hải đăng đặt tại vị trí \(A\) cách bờ biển một đoạn \(AB = 5km\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí \(C\) cách \(B\) một đoạn là \(7km\) ( biết \(AB\) vuông góc với \(BC\)). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ \(A\) đến điểm \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(4{\rm{\;km/h}}\) rồi đi bộ đến \(C\) với vận tốc \(6{\rm{\;km/h}}\) (xem hình vẽ ở dưới đây). Khi đó độ dài đoạn \(BM\) để người đó đến kho nhanh nhất có dạng \(a\sqrt b \) (với \(b\;\)là số nguyên tố) thì tích \(ab\) bằng ___.

Hàm số \(F\left( x \right) = 2{x^9} + 1945\) là nguyên hàm của hàm số

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 4 - 3t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 4z + 5 = 0\). Phương trình đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), cắt và vuông góc với \({\rm{\Delta }}\) là

Một trang trại phân 1000 quả trứng thành 5 loại, tuỳ theo khối lượng (đã được làm tròn) của chúng được thống kê bởi bảng dưới đây:

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian \(Oxyz\), đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\), đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí \(A\left( { - 500; - 250;150} \right),B\left( { - 200; - 200;100} \right)\). Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là \(\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị của biểu thức \( - 57a - 19b - 19c\) là _____.