Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Giả sử có một ngọn hải đăng đặt tại vị trí \(A\) cách bờ biển một đoạn \(AB = 5km\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí \(C\) cách \(B\) một đoạn là \(7km\) ( biết \(AB\) vuông góc với \(BC\)). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ \(A\) đến điểm \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(4{\rm{\;km/h}}\) rồi đi bộ đến \(C\) với vận tốc \(6{\rm{\;km/h}}\) (xem hình vẽ ở dưới đây). Khi đó độ dài đoạn \(BM\) để người đó đến kho nhanh nhất có dạng \(a\sqrt b \) (với \(b\;\)là số nguyên tố) thì tích \(ab\) bằng ___.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: 10.
Trước tiên, ta xây dựng hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số tính thời gian người canh hải đăng phải đi.
Đặt \(BM = x\left( {km} \right)\), điều kiện \(\left( {0 \le x \le 7} \right)\) thì ta được: \(MC = 7 - x,AM = \sqrt {{x^2} + 25} \).
Theo đề bài, Người canh hải đăng có thể chèo đò từ \(A\) đến điểm \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(4{\rm{\;km/h}}\) rồi đi bộ đến \(C\) với vận tốc \(6{\rm{\;km/h}}\), như vậy ta có hàm số \(f\left( x \right)\) được xác định như sau:
\(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6} = \frac{{3\sqrt {{x^2} + 25} - 2x + 14}}{{12}}\) với \(x \in \left[ {0;7} \right]\)
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) để có được thời gian ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm \(M\).
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{12}}{\rm{\;}}\left( {\frac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} - 2} \right)\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2\sqrt {{x^2} + 25} = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 25} = 3x\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5{x^2} = 100}\\{x \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm 2\sqrt 5 }\\{x \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 \).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;7} \right]\) và ta có:
\(f\left( 0 \right) = \frac{{29}}{{12}},f\left( {2\sqrt 5 } \right) = \frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}},f\left( 7 \right) = \frac{{\sqrt {74} }}{4}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) là \(\frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}}\) tại \(x = 2\sqrt 5 \).
Khi đó thời gian đi là ít nhất và điểm \(M\) nằm cách \(B\) một đoạn \(BM = x = 2\sqrt 5 \).
Suy ra \(a = 2;b = 5\). Do đó \(ab = 10\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: 0.
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra \(f\left( 0 \right) > f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow c > \sqrt 3 \Rightarrow c > 0\).
Ta có \(y' = f'\left( x \right) = {x^2} + 2ax + b,{{\rm{\Delta '}}_{y'}} = {a^2} - b\).
Vì \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) vô nghiệm.
\( \Rightarrow {\rm{\Delta '}}{\;_{y'}} < 0 \Leftrightarrow {a^2} - b < 0 \Leftrightarrow {a^2} < b \Rightarrow b > 0\).
Mặt khác \(f'\left( { - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow 1 - 2a + b = 1 \Leftrightarrow b = 2a \Rightarrow a > 0\).
Vậy không có số âm nào trong các hệ số \(a,b,c\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: \(\frac{a}{{\sqrt 2 }};60^\circ \).
Kẻ \(MJ \bot AB\) suy ra \(AJ = \frac{t}{{\sqrt 2 }}\). Kẻ \(JI \bot A'B'\). Dễ thấy \(J,N,I\) thẳng hàng.
Ta có: \(M{N^2} = M{J^2} + J{N^2} = \frac{{{t^2}}}{2} + {\left( {a - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = {t^2} - a\sqrt 2 t + {a^2} = {\left( {t - \frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{{{a^2}}}{2} \ge \frac{{{a^2}}}{2}\)
Suy ra \(MN \ge \frac{a}{{\sqrt 2 }}\). Dấu "=" xảy ra khi \(t = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).
Khi đó \(M;N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(A'B\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(MN\) là \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\).
Dễ thấy khi đó \(MN//B'C\left( {//A'D} \right)\) nên \(\left( {MN,AC} \right) = \left( {B'C,AC} \right) = \widehat {B'CA}\).
Mà ta có tam giác \(AB'C\) đều nên \(\widehat {B'CA} = 60^\circ \).
Do đó \(\left( {MN,AC} \right) = 60^\circ \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
\(3\).
\(2\).
\(4\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Cách vạch ngoài cùng bên phải \(7,15\;cm.\)
Cách vạch ngoài cùng bên phải \(2,46\;cm.\)
Cách vạch ngoài cùng bên trái \(7,54\;cm.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
\(3987,89{m^3}\).
\(3619,11{m^3}\).
\(4523,89{m^3}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập