Để tuyển chọn thành viên cho Câu lạc bộ Toán - Tin, nhà trường tổ chức một bài thi đánh giá năng lực (thang điểm 100) cho 100 học sinh. Kết quả điểm thi được thống kê trong bảng số liệu ghép nhóm gồm 6 nhóm như sau:

Điểm số	\(\left[ {40;50} \right)\)	\(\left[ {50;60} \right)\)	\(\left[ {60;70} \right)\)	\(\left[ {70;80} \right)\)	\(\left[ {80;90} \right)\)	\(\left[ {90;100} \right)\)
Số học sinh	10	15	25	30	15	5

An và Bình là hai học sinh tham gia thi, đạt số điểm lần lượt là 82 điểm và 69,5 điểm. Ban chủ nhiệm Câu lạc bộ đưa ra quy định phân loại dựa trên các chỉ số thống kê của toàn bộ mẫu số liệu như sau:

Xếp loại "xuất sắc": Điểm số lớn hơn hoặc bằng tứ phân vị thứ ba.

Xếp loại "tiềm năng": Điểm số từ mức điểm trung vị đến dưới tứ phân vị thứ ba.

Xếp loại "chưa đạt": Điểm số dưới mức điểm trung vị. Một điều hết sức thú vị là không có học sinh nào có điểm số bằng một trong ba giá trị tứ phân vị.

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Đáp án: Đúng – Sai – Sai.

Phương trình tham số của đường thẳng d qua \(A\left( {10;\;\;3;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2;\; - 2;1} \right)\) là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.{\rm{, }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\]

Ta có độ dài \(AM = vt\).

Vì M thuộc đường thẳng d nên \(M\left( {10 + 2m;3 - 2m;m} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {AM} = \left( {2m; - 2m;m} \right)\)mà \(\overrightarrow {AM\;} \;\) cùng hướng với véc tơ \(\vec u\) có \(m \ge 0\). Suy ra \(AM = 3m\).

Vậy \(3m = 4,5t\;\) suy ra \(m = 1,5\;t\). Vậy \(\left( {3t + 10;\; - 3t + 3;\;\frac{{3t}}{2}} \right)\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Ta có khi \({x_B} = 550\) tức tà \(3t + 10 = 550\) suy ra \(t = 180\)giây.

Vậy \(AB = vt = 4,5 \cdot 180 = 810\;\left( m \right)\) nên phát biểu thứ hai sai.

Ta có \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {2;\; - 2;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right):z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {u\;} \cdot \vec n} \right|}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec n} \right|}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \alpha \approx 19,4^\circ \) nên phát biểu thứ ba sai.

Đáp án: 8012.

Dựa vào dữ kiện đề bài, ta có:

+) \(P\left( 0 \right) = 800 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 0}}}} = 800 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a}} = 800\)

+) \(P\left( 3 \right) = 6000 \Leftrightarrow \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\)

+ ) Sức chứa của hồ là 8000 con \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = 8000\)

Khi \(t \to + \infty \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 1 \Rightarrow {b^{ - t}} \to + \infty (L)}\\{b > 1 \Rightarrow {b^{ - t}} \to 0(tm)}\end{array} \Rightarrow P(t) \to c} \right.\).

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = c = 8000\). Mà \(\frac{c}{{1 + a}} = 800 \Leftrightarrow \frac{{8000}}{{1 + a}} = 800 \Rightarrow a = 9\)

Thay vào \(c = 8000\) và \(a = 9\) phương trình \(\frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\) ta được \(\frac{{8000}}{{1 + 9 \cdot {b^{ - 3}}}} = 6000\)

\( \Leftrightarrow 1 + 9 \cdot {b^{ - 3}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow {b^{ - 3}} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow b = 3\).

Suy ra \(P(t) = \frac{{8000}}{{1 + 9 \cdot {3^{ - t}}}}\). Do đó \(a + b + c = 8012\).