Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} ;n \ge 1}\end{array}} \right..\)

Tính tổng \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \ldots + u_{2022}^2\).

\({3^{2022}} - 2023.\)

\({3^{2022}}\).

\({3^{2022}} - 2022.\)

\({3^{2023}} - 2022.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 30 !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án: \({3^{2022}} - 2023\).

Ta có: \({u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} \)\( \Rightarrow u_{n + 1}^2 = 3u_n^2 + 2\)\( \Rightarrow u_{n + 1}^2 + 1 = 3\left( {u_n^2 + 1} \right)\)

Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\)với \({v_n} = u_n^2 + 1\)

\( \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)\)là cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 + 1 = 2\)và công bội \[q = 3.\]

Vậy \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \ldots + u_{2022}^2\)\( = {v_1} - 1 + {v_2} - 1 + {v_3} - 1 + \ldots + {v_{2022}} - 1\)

\( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + \ldots + {v_{2022}} - 2022\)

\( = {v_1} \cdot \frac{{{q^{2022}} - 1}}{{q - 1}} - 2022 = 2 \cdot \frac{{{3^{2022}} - 1}}{2} - 2022 = {3^{2022}} - 2023.\)

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hàm số \[y = \ln \left( {2x - 1} \right) - {x^2}\]. Phương trình \[y' = 0\] có nghiệm phân biệt và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là _ .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án:

Ô 1: 1

Ô 2: -1

Đáp án: 1; −1.

Điều kiện: \(x > \frac{1}{2}\)

\[y = \ln \left( {2x - 1} \right) - {x^2} \Rightarrow y' = \frac{{2 + 2x - 4{x^2}}}{{2x - 1}}\].

\[y' = \frac{{2 + 2x - 4{x^2}}}{{2x - 1}} = 0 \Rightarrow 2 + 2x - 4{x^2} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\\x = - 0,5\end{array} \right.\].

Vì \(x > \frac{1}{2}\) nên \(x = 1\).

Ta có bảng biến thiên:

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là \[ - 1\].

Câu 2

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Biết \[\frac{4}{{3x - 2y}} = \frac{3}{{2z - 4x}} = \frac{2}{{4y - 3z}}\] và \[x + y - z = - 10\]. Khi đó \(x = \) và \(x + y + z = \) .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án:

Ô 1: -20

Ô 2: -90

Đáp án: −20; −90.

Từ : \[\frac{4}{{3x - 2y}} = \frac{3}{{2z - 4x}} = \frac{2}{{4y - 3z}}\] \[ \Rightarrow \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{4y - 3z}}{2}\]

\[ = \frac{{4\left( {3x - 2y} \right)}}{{16}} = \frac{{3\left( {2z - 4x} \right)}}{9} = \frac{{2\left( {4y - 3z} \right)}}{2} = \frac{{\left( {12x - 8y} \right) + \left( {6z - 12x} \right) + \left( {8y - 6z} \right)}}{{27}} = 0\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\2z = 4x\\4y = 3z\end{array} \right. \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y - z}}{{2 + 3 - 4}} = - 10\].

Suy ra \(x = - 20;y = - 30;z = - 40\) và \(x + y + z = - 90\).

Câu 3