Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[{\rm{Ox}}yz,\] cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \(\left( S \right)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2022.\) Có __ điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) với \(a + b + c > 0\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại \(M\) và cắt các trục \[{\rm{Ox}},Oy,Oz\] lần lượt tại \(A,B,C\) có thể tích khối tứ diện \(OABC\) là nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 30 !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án:

1. 4

Đáp án: 4.

Gọi \(A\left( {m;0;0} \right),\)\(B\left( {0;n;0} \right),\)\(C\left( {0;0;p} \right).\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1.\)

Điểm \(M \in \left( {ABC} \right)\)nên \(\frac{a}{m} + \frac{b}{n} + \frac{c}{p} = 1\quad (1).\)

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên \(d\left[ {O,\left( {ABC} \right)} \right] = R\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} }} = \sqrt {2022} \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{2022}} = \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}} \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {mnp} \right)}^2}}}}}\)\( \Leftrightarrow \left| {mnp} \right| \ge \sqrt {{{6066}^3}} \).

Thể tích \(OABC\) là \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}\left| {mnp} \right| \ge \frac{{\sqrt {{{6066}^3}} }}{6}.\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left| m \right| = \left| n \right| = \left| p \right| = \sqrt {6066} .\)

Vậy có \(4\) điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hàm số \[y = \ln \left( {2x - 1} \right) - {x^2}\]. Phương trình \[y' = 0\] có nghiệm phân biệt và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là _ .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án:

Ô 1: 1

Ô 2: -1

Đáp án: 1; −1.

Điều kiện: \(x > \frac{1}{2}\)

\[y = \ln \left( {2x - 1} \right) - {x^2} \Rightarrow y' = \frac{{2 + 2x - 4{x^2}}}{{2x - 1}}\].

\[y' = \frac{{2 + 2x - 4{x^2}}}{{2x - 1}} = 0 \Rightarrow 2 + 2x - 4{x^2} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\\x = - 0,5\end{array} \right.\].

Vì \(x > \frac{1}{2}\) nên \(x = 1\).

Ta có bảng biến thiên:

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là \[ - 1\].

Câu 2

Kéo và thả các phương án thích hợp vào các chỗ trống:

Trong một câu lạc bộ thể thao của trường X, thầy giáo có chuẩn bị các phiếu khảo sát về bộ môn thể thao yêu thích gồm bóng đá và cầu lông cho 40 bạn học sinh. Kết quả: 35 học sinh thích bóng đá, 30 học sinh thích cầu lông, 4 học sinh không thích môn nào. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh.

Gọi biến cố A: "Học sinh yêu thích môn bóng đá", B: "Học sinh yêu thích môn cầu lông". Khi đó: \(P\left( A \right)\) bằng ; \(P\left( {A \cup B} \right)\) bằng ; \(P\left( {A \cdot B} \right)\) bằng __ .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án:

Ô 1: \[\frac{7}{8}\]

Ô 2: \(\frac{9}{{10}}\)

Ô 3: \[\frac{{29}}{{40}}\]

Đáp án: \[\frac{7}{8};\frac{9}{{10}};\frac{{29}}{{40}}\].

\(P\left( A \right) = \frac{{35}}{{40}} = \frac{7}{8}\).

Vì số học sinh thích ít nhất một môn là \(40 - 4 = 36 \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{36}}{{40}} = \frac{9}{{10}}\).

Vì số học sinh thích cả hai môn là \(35 + 30 - 36 = 29 \Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{{29}}{{40}}\).

Câu 3