Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 2\).

Từ một tấm bìa hình chữ nhật kích thước \(30{\rm{ cm}} \times 20{\rm{ cm}}\), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau có cạnh \(x\) (cm) rồi gấp thành một chiếc hộp không nắp. Tìm \(x\) để thể tích hộp đạt giá trị lớn nhất. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một xe điện giao hàng đi quãng đường bằng phẳng dài \(120{\rm{ km}}\) với vận tốc không đổi \(v{\rm{ (km/h)}}{\rm{.}}\) Công suất tiêu thụ điện khi xe chạy ở vận tốc này được mô hình hóa bởi hàm số

\(P\left( v \right) = 12 + \frac{{{v^2}}}{{300}}\) kW. Bỏ qua điện năng lúc khởi hành và dừng xe. Để điện năng tiêu thụ trên cả quãng đường là nhỏ nhất, xe cần chạy với vận tốc bao nhiêu kilômét trên giờ? (Biết công thức tính điện năng tiêu thụ \(({\rm{kWh}})\) là: điện năng = công suất tiêu thụ điện \( \times \) thời gian).

Một nhóm nghiên cứu quan sát sự phát triển của một quần thể vi khuẩn trong môi trường nuôi cấy hạn chế.

Giai đoạn 1 (từ \(t = 0\) đến \(t = 3\) giờ): Số lượng vi khuẩn tăng trưởng theo hàm mũ \(N\left( t \right) = 40{{\rm{e}}^{0,8t}}\) (với \(t\) tính bằng giờ, \(N\) tính bằng triệu cá thể).

Giai đoạn 2 (sau 3 giờ): Số lượng vi khuẩn được biểu thị bởi hàm số \[M\left( t \right) = A - \frac{{160}}{3}{{\rm{e}}^{4,2 - 0,6t}}\] (với \(A\) là các hằng số, \(t\) tính bằng giờ, \(M\) tính bằng triệu cá thể).

Một cửa hàng dự kiến bán \(x\) sản phẩm mỗi tháng. Giá bán mỗi sản phẩm là \(p\left( x \right) = 600 - 0,5x\) (nghìn đồng) và số sản phẩm mỗi tháng không vượt quá \(800\) sản phẩm. Tổng chi phí sản xuất là \(C\left( x \right) = 100x + 50000\) (nghìn đồng). Lợi nhuận lớn nhất mà cửa hàng có thể đạt được là bao nhiêu triệu đồng?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x\). Đặt \[g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\]. Biết rằng hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {m;\,\, + \infty } \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(m\). (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \sqrt[3]{{8{x^3} + 2x + 1}}\) có phương trình là \(y = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\). Biểu thức \(T = 2026a + 2027b\) có giá trị bằng bao nhiêu?

Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + x - 2}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Đường thẳng \(\Delta :x + 2y = - 2\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\).