Cho góc hình học \(uOv = 60^\circ \). Xác định số đo của góc lượng giác \(\left( {Ou,\,\,Ov} \right)\) trong hình sau.

Đáp án: a) Đúng.                        b) Đúng.        c) Sai.            d) Đúng.

a) Đúng. Tâm \(O\) của tuabin ở độ cao \(120\) m. Độ cao của một điểm trên cánh quạt so với mặt đất là \(h = 120 + y\), với \(y = 75\sin \theta \) (\(\theta \) là góc lượng giác của cánh tương ứng).

⦁ Cánh \(OM\): Điểm \(M\) ở độ cao \(49{\rm{ m}} \Rightarrow {y_M} = 49 - 120 =  - 71{\rm{ m}} \Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{{71}}{{75}}\).

Vậy \(\sin \alpha  =  - \frac{{71}}{{75}} < 0\).

b) Đúng. Vì \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\) nên \(\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \frac{{2\sqrt {146} }}{{75}}\).

⦁ Cánh \(ON\): Góc lượng giác là \(\beta  = \alpha  - \frac{{2\pi }}{3}\).

Ta có: \(\sin \beta  = \sin \left( {\alpha  - \frac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \frac{1}{2}\sin \alpha  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha  = \frac{{71 - 2\sqrt {438} }}{{150}} \approx 0,194\).

Chiều cao của điểm \(N\) là:

\({h_N} = 120 + 75\sin \beta  = 120 + \frac{{71 - 2\sqrt {438} }}{2} \approx 134,57\) m.

Vậy chiều cao của điểm \(N\) so với mặt đất lớn hơn \(130\) m.

c) Sai. Điểm \(N\) nằm ở nửa mặt phẳng phía trên trục hoành \(Ox\), có tung độ \({y_N} > 0\) nên \(\sin \beta  > 0\).

d) Đúng. Góc lượng giác là \(\gamma  = \alpha  + \frac{{2\pi }}{3}\). Ta có \(\sin \gamma  = \frac{{71 + 2\sqrt {438} }}{{150}} \approx 0,752\).

Chiều cao của điểm \(P\) là:

\({h_P} = 120 + 75\sin \gamma  = 120 + \frac{{71 + 2\sqrt {438} }}{2} \approx 176,43\) m.

Vậy chiều cao của điểm \(P\) so với mặt đất thấp hơn \(180\) m.

Gọi \(H\) là trung điểm của dây cung \(AB\) và đặt \(\theta  = \widehat {AOB}\).

Tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) với \(OA = OB = 100\) m, nên \(OH \bot AB\) và \(OH\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AOB}\).

Trong tam giác vuông \(OHA\), ta có:

\(AH = \frac{{AB}}{2} = 60\) m và \(\sin \frac{\theta }{2} = \frac{{AH}}{{OA}} = \frac{{60}}{{100}} = 0,6\).

Sử dụng máy tính ở chế độ radian suy ra \(\theta  \approx 1,287{\rm{ rad}}\).

Quãng đường ngắn nhất đi bộ trên bờ hồ là độ dài cung nhỏ \(AB\):

\(s = R \cdot \theta  \approx 100 \cdot 1,287 \approx 129\) m.

Đáp số: 129.