(0,5 điểm)

Cho ba số thực \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c \ne 0\), \(\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = 2026\).

Tính giá trị của biểu thức:

\(T = \frac{1}{{{a^2}\left( {a + b + c} \right) + 2026 + abc}} + \frac{1}{{{b^2}\left( {a + b + c} \right) + 2026 + abc}} + \frac{1}{{{c^2}\left( {a + b + c} \right) + 2026 + abc}}\).

Áp dụng đồng nhất thức đại số, ta có:

\(\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc\).

Theo đề bài, \(\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = 2026\), nên:

\(2026 + abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Khi đó, mẫu số thứ nhất của biểu thức \(T\) biến đổi thành:

\({a^2}\left( {a + b + c} \right) + 2026 + abc = {a^2}\left( {a + b + c} \right) + \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + ab + bc + ca} \right)\)

\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\)

Tương tự cho hai mẫu số còn lại:

\({b^2}\left( {a + b + c} \right) + 2026 + abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {b + a} \right)\left( {b + c} \right)\)

\({c^2}\left( {a + b + c} \right) + 2026 + abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)\)

Quy đồng mẫu thức chung \(M = \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\), ta có:

\(T = \frac{{\left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right) + \left( {a + b} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = \frac{2}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\)

Thay giả thiết \(\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 2026\) vào, ta được:

\(T = \frac{2}{{2026}} = \frac{1}{{1013}}\).

*Chứng minh \(\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc\):

Đặt tổng của ba số là \(S = a + b + c\).

Từ đó biểu diễn từng nhân tử ở vế trái theo \(S\), ta được:

\(b + c = \left( {a + b + c} \right) - a = S - a\);

\(c + a = \left( {a + b + c} \right) - b = S - b\);

\(a + b = \left( {a + b + c} \right) - c = S - c\).

Khi đó, \({\rm{VT}} = \left( {S - a} \right)\left( {S - b} \right)\left( {S - c} \right)\).

Khai triển biểu thức VT ta được:

\(\left( {S - a} \right)\left( {S - b} \right)\left( {S - c} \right) = {S^3} - \left( {a + b + c} \right){S^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)S - abc\).

Thay \(S = a + b + c\) vào biểu thức vừa khai triển, ta được:     

\({S^3} - \left( {a + b + c} \right){S^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)S - abc\)

\( = {S^3} - S \cdot {S^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)S - abc\)

\( = \left( {ab + bc + ca} \right)S - abc\).

\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc = {\rm{VP}}\).

Vậy \(\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc\) (điều phải chứng minh).