Năm \(2001\) các kĩ sư đã thành công trong việc đưa độ nghiêng của tháp Pisa (Italia) chỉ còn khoảng \(4^\circ \) so với phương thẳng đứng. Giả sử một người đứng trên tháp (tại vị trí \(A\)) cách mặt đất một khoảng \(AH = 45\) m, thả một vật rơi xuống đất. Tính khoảng cách từ vị trí chạm đất (vị trí \(H\)) đến chân tháp (vị trí \(B\)) (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Gọi số lần tăng giá vé là \(x\) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^ * },\,\,x < 30} \right)\).

Mức giá vé mới sau \(x\) lần tăng là: \(100000 + 5000x\) (đồng).

Số ghế có người xem sau \(x\) lần tăng là: \(120 - 4x\) (ghế).

Tổng doanh thu của rạp chiếu phim khi đó là:

\(T\left( x \right) = \left( {100000 + 5000x} \right)\left( {120 - 4x} \right)\)

\(T\left( x \right) = 20000\left( {20 + x} \right)\left( {30 - x} \right)\)

\(T\left( x \right) = 20000\left( {600 + 10x - {x^2}} \right)\)
\(T\left( x \right) = 20000\left[ {625 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} \right]\)

Ta có: \({\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0\) suy ra \(625 - {\left( {x - 5} \right)^2} \le 625\).

Do đó, \(T(x) = 20000\left[ {625 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} \right] \le 20000 \cdot 625 = 12500000\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(x - 5 = 0\) suy ra \(x = 5\) (thỏa mãn điều kiện).

Mức giá vé mới để doanh thu rạp chiếu phim đạt tối đa là:

                  \(100000 + 5000 \cdot 5 = 125000\) (đồng).

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 5y =  - 11}\\{ - 3x + 7y = 15}\end{array}} \right.\).

Nhân hai tế của phương trình thứ nhất với \(3\) và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được hệ phương trình mới: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6x - 15y =  - 33}\\{ - 6x + 14y = 30}\end{array}} \right.\).

Cộng từng vế tương ứng của hai phương trình trong hệ mới, ta được: \( - y =  - 3{\rm{\;hay\;}}y = 3\).

Thay \(y = 3\) vào phương trình thứ nhất, ta được:

                                  \(2x - 5 \cdot 3 =  - 11\)

                                        \(2x - 15 =  - 11\)

                                              \(2x = 4\)

                                              \(x = 2\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,3} \right)\).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{x - 3}} + \frac{1}{{y + 2}} = 3}\\{\frac{4}{{x - 3}} - \frac{3}{{y + 2}} = 1}\end{array}} \right.\).

Điều kiện xác định: \(x \ne 3\) và \(y \ne  - 2\).

Đặt \(u = \frac{1}{{x - 3}}\) và \(v = \frac{1}{{y + 2}}\). Hệ phương trình ban đầu trở thành:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2u + v = 3\,\,\left( 3 \right)}\\{4u - 3v = 1\,\,\left( 4 \right)}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (3) với \(3\), ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6u + 3v = 9}\\{4u - 3v = 1}\end{array}} \right.\).

Cộng từng vế tương ứng của hai phương trình trên, ta được: \(10u = 10\) suy ra \(u = 1\).

Thay \(u = 1\) vào phương trình (3), ta được: \(2 \cdot 1 + v = 3\) suy ra \(v = 1\).

Với \(u = 1\) và \(v = 1\), ta có:

⦁ \(\frac{1}{{x - 3}} = 1\) suy ra \(x - 3 = 1\) suy ra \(x = 4\) (thỏa mãn).

⦁ \(\frac{1}{{y + 2}} = 1\) suy ra \(y + 2 = 1\) suy ra \(y =  - 1\) (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {4;\,\, - 1} \right)\).