(\(0,5\) điểm)

Một rạp chiếu phim có \(120\) ghế, giá vé hiện tại là \(100{\mkern 1mu} \,\,000\) đồng cho mỗi vé. Với giá vé này, tất cả các ghế đều được bán hết cho mỗi suất chiếu. Ban quản lý rạp phim xem xét việc tăng giá vé để tối ưu hóa doanh thu. Sau khi thử nghiệm, rạp phim nhận thấy cứ mỗi lần tăng giá thêm \(5\) nghìn đồng, số ghế bị bỏ trống sẽ tăng thêm \(4\) ghế. Sau \(x\) lần tăng giá, doanh thu của rạp phim là lớn nhất. Hỏi mức giá vé mới là bao nhiêu thì doanh thu của rạp chiếu phim là lớn nhất?

Phương rơi tự do thẳng đứng vuông góc với mặt đất nên tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\).

Độ nghiêng của tháp so với phương thẳng đứng là \(\widehat {BAH} = 4^\circ \) và \(AH = 45\) m.

Khoảng cách từ vị trí chạm đất \(H\) đến chân tháp \(B\) là:

\(BH = AH \cdot \tan \left( {\widehat {BAH}} \right) = 45 \cdot \tan \left( {4^\circ } \right) \approx 3,15\) (m).

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 5y =  - 11}\\{ - 3x + 7y = 15}\end{array}} \right.\).

Nhân hai tế của phương trình thứ nhất với \(3\) và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được hệ phương trình mới: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6x - 15y =  - 33}\\{ - 6x + 14y = 30}\end{array}} \right.\).

Cộng từng vế tương ứng của hai phương trình trong hệ mới, ta được: \( - y =  - 3{\rm{\;hay\;}}y = 3\).

Thay \(y = 3\) vào phương trình thứ nhất, ta được:

                                  \(2x - 5 \cdot 3 =  - 11\)

                                        \(2x - 15 =  - 11\)

                                              \(2x = 4\)

                                              \(x = 2\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,3} \right)\).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{x - 3}} + \frac{1}{{y + 2}} = 3}\\{\frac{4}{{x - 3}} - \frac{3}{{y + 2}} = 1}\end{array}} \right.\).

Điều kiện xác định: \(x \ne 3\) và \(y \ne  - 2\).

Đặt \(u = \frac{1}{{x - 3}}\) và \(v = \frac{1}{{y + 2}}\). Hệ phương trình ban đầu trở thành:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2u + v = 3\,\,\left( 3 \right)}\\{4u - 3v = 1\,\,\left( 4 \right)}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (3) với \(3\), ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6u + 3v = 9}\\{4u - 3v = 1}\end{array}} \right.\).

Cộng từng vế tương ứng của hai phương trình trên, ta được: \(10u = 10\) suy ra \(u = 1\).

Thay \(u = 1\) vào phương trình (3), ta được: \(2 \cdot 1 + v = 3\) suy ra \(v = 1\).

Với \(u = 1\) và \(v = 1\), ta có:

⦁ \(\frac{1}{{x - 3}} = 1\) suy ra \(x - 3 = 1\) suy ra \(x = 4\) (thỏa mãn).

⦁ \(\frac{1}{{y + 2}} = 1\) suy ra \(y + 2 = 1\) suy ra \(y =  - 1\) (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {4;\,\, - 1} \right)\).