Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

a) Viết các tỉ số lượng giác \(\sin B\), \(\cos B\) và chứng minh \({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\).

b) Áp dụng kết quả trên hãy tính giá trị của biểu thức:

\(M = {\sin ^2}10^\circ  + {\sin ^2}20^\circ  + {\sin ^2}30^\circ  + {\sin ^2}40^\circ  + {\sin ^2}50^\circ  + {\sin ^2}60^\circ  + {\sin ^2}70^\circ  + {\sin ^2}80^\circ \).

Kẻ đường cao \(AH\) từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC\) \(\left( {H \in BC} \right)\).

    Trong tam giác vuông \(AHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(AH = AC \cdot \sin C\) và \(HC = AC \cdot \cos C\).

Ta có: \(HB = BC - HC = BC - AC \cdot \cos C\)

Áp dụng định lý Pythagore cho \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)

\(A{B^2} = {\left( {AC \cdot \sin C} \right)^2} + {\left( {BC - AC \cdot \cos C} \right)^2}\)

\(A{B^2} = A{C^2} \cdot {\sin ^2}C + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C + A{C^2} \cdot {\cos ^2}C\)

\(A{B^2} = A{C^2}\left( {{{\sin }^2}C + {{\cos }^2}C} \right) + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\)

Vì \({\sin ^2}C + {\cos ^2}C = 1\) (chứng minh ở Bài 2a), ta thu được công thức:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\) (đpcm).

Thay các giá trị \(AC = 70\) km, \(BC = 100\) km, \(\widehat {C\,} = 60^\circ \) vào công thức vừa chứng minh, ta được:

\(A{B^2} = {70^2} + {100^2} - 2 \cdot 70 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ \)

\(A{B^2} = 4900 + 10000 - 14000 \cdot 0,5\)

\(A{B^2} = 14900 - 7000 = 7900\)

\(AB = \sqrt {7900}  = 10\sqrt {79} \) km.

Quãng đường đi theo lộ trình cũ (qua tỉnh \(C\)) là:

\({S_1} = AC + CB = 70 + 100 = 170\) (km).

Lượng nhiên liệu tiêu thụ theo đường cũ là: \(\frac{{170}}{{20}} = 8,5\) (lít).

Quãng đường đi theo đường hầm xuyên núi \(\left( {AB} \right)\) là: \({S_2} = 10\sqrt {79} \) (km).

Lượng nhiên liệu tiêu thụ theo đường hầm là: \(\frac{{10\sqrt {79} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {79} }}{2}\) (lít).

Lượng nhiên liệu tiết kiệm được là:

\({\rm{\Delta }}N = 8,5 - \frac{{\sqrt {79} }}{2} \approx 8,5 - 4,444 = 4,056\) (lít).

Đổi: \(24\) phút \( = \frac{2}{5}\) giờ.

Gọi quãng đường từ kho A đến kho B là \(x\) (km) \(\left( {x > 0} \right)\).

Vận tốc lúc đi là: \({v_1} = 50\) (km/h).

Thời gian lúc đi là: \({t_1} = \frac{x}{{50}}\) (giờ).

Vận tốc lúc về là: \({v_2} = 50 + 10 = 60\) (km/h).

Thời gian về là: \({t_2} = \frac{x}{{60}}\) (giờ).

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi \(24{\rm{\;ph\'u t}}\) (\(\frac{2}{5}\) giờ) nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{50}} - \frac{x}{{60}} = \frac{2}{5}\)

\(x \cdot \left( {\frac{1}{{50}} - \frac{1}{{60}}} \right) = \frac{2}{5}\)

\(x \cdot \frac{1}{{300}} = \frac{2}{5}\)

\(x = \frac{2}{5} \cdot 300 = 120\) (thỏa mãn).

Vậy quãng đường từ kho A đến kho B dài \(120{\rm{\;km}}\).