Trong một buổi học thực hành trải nghiệm môn Toán ở ngoài trời, bạn Nam được giao nhiệm vụ đo chiều cao của một cây trong khuôn viên nhà trường. Để thực hiện công việc, Nam đứng cách thân cây một khoảng nằm ngang \(OH = 4\) m. Từ vị trí quan sát \(O\) (ngang tầm mắt), Nam sử dụng giác kế và ghi nhận được tầm mắt hướng lên đỉnh cây \(A\) tạo với phương nằm ngang \(OH\) một góc nâng \(\widehat {AOH} = 42^\circ \), tầm mắt hướng xuống gốc cây \(B\) tạo với phương nằm ngang \(OH\) một góc hạ \(\widehat {HOB} = 28^\circ \). Biết rằng thân cây \(AB\) mọc thẳng đứng và vuông góc với phương nằm ngang \(OH\) tại \(H\) \(\left( {OH \bot AB} \right)\). Em hãy giúp bạn Nam tính chiều cao \(AB\) của cây thông đó theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Kẻ đường cao \(AH\) từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC\) \(\left( {H \in BC} \right)\).

    Trong tam giác vuông \(AHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(AH = AC \cdot \sin C\) và \(HC = AC \cdot \cos C\).

Ta có: \(HB = BC - HC = BC - AC \cdot \cos C\)

Áp dụng định lý Pythagore cho \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)

\(A{B^2} = {\left( {AC \cdot \sin C} \right)^2} + {\left( {BC - AC \cdot \cos C} \right)^2}\)

\(A{B^2} = A{C^2} \cdot {\sin ^2}C + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C + A{C^2} \cdot {\cos ^2}C\)

\(A{B^2} = A{C^2}\left( {{{\sin }^2}C + {{\cos }^2}C} \right) + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\)

Vì \({\sin ^2}C + {\cos ^2}C = 1\) (chứng minh ở Bài 2a), ta thu được công thức:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\) (đpcm).

Thay các giá trị \(AC = 70\) km, \(BC = 100\) km, \(\widehat {C\,} = 60^\circ \) vào công thức vừa chứng minh, ta được:

\(A{B^2} = {70^2} + {100^2} - 2 \cdot 70 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ \)

\(A{B^2} = 4900 + 10000 - 14000 \cdot 0,5\)

\(A{B^2} = 14900 - 7000 = 7900\)

\(AB = \sqrt {7900}  = 10\sqrt {79} \) km.

Quãng đường đi theo lộ trình cũ (qua tỉnh \(C\)) là:

\({S_1} = AC + CB = 70 + 100 = 170\) (km).

Lượng nhiên liệu tiêu thụ theo đường cũ là: \(\frac{{170}}{{20}} = 8,5\) (lít).

Quãng đường đi theo đường hầm xuyên núi \(\left( {AB} \right)\) là: \({S_2} = 10\sqrt {79} \) (km).

Lượng nhiên liệu tiêu thụ theo đường hầm là: \(\frac{{10\sqrt {79} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {79} }}{2}\) (lít).

Lượng nhiên liệu tiết kiệm được là:

\({\rm{\Delta }}N = 8,5 - \frac{{\sqrt {79} }}{2} \approx 8,5 - 4,444 = 4,056\) (lít).

Đổi: \(24\) phút \( = \frac{2}{5}\) giờ.

Gọi quãng đường từ kho A đến kho B là \(x\) (km) \(\left( {x > 0} \right)\).

Vận tốc lúc đi là: \({v_1} = 50\) (km/h).

Thời gian lúc đi là: \({t_1} = \frac{x}{{50}}\) (giờ).

Vận tốc lúc về là: \({v_2} = 50 + 10 = 60\) (km/h).

Thời gian về là: \({t_2} = \frac{x}{{60}}\) (giờ).

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi \(24{\rm{\;ph\'u t}}\) (\(\frac{2}{5}\) giờ) nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{50}} - \frac{x}{{60}} = \frac{2}{5}\)

\(x \cdot \left( {\frac{1}{{50}} - \frac{1}{{60}}} \right) = \frac{2}{5}\)

\(x \cdot \frac{1}{{300}} = \frac{2}{5}\)

\(x = \frac{2}{5} \cdot 300 = 120\) (thỏa mãn).

Vậy quãng đường từ kho A đến kho B dài \(120{\rm{\;km}}\).