Giải các hệ phương trình sau:

1. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y = 11}\\{4x + y = 11}\end{array}} \right.\).                                               

2. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 2} \right)\left( {y - 1} \right) = xy}\\{\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 3}\end{array}} \right.\).

Gọi \(AB\) là chiếc thang, \(AC\) là khoảng cách từ chân thang đến chân tường. Khi đó, tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), \(AB = 3,5\) m và \(\widehat {BAC} = 65^\circ \)

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) ta có:

\(AC = AB \cdot \cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = 3,5 \cdot \cos \left( {65^\circ } \right) \approx 1,48\) (m).

Vậy khoảng cách từ chân thang \(A\) đến chân tường \(C\) khoảng \(1,48\) m.

b) Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) ta có:

\(\cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{1,2}}{{3,5}} = \frac{{12}}{{35}}\) suy ra \(\widehat {BAC} \approx 70^\circ \).

Vậy góc tạo bởi thang và mặt đất lúc này xấp xỉ \(70^\circ \).

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ \);

\(\widehat {ABC}\) là góc chung.

Do đó $\text{Δ}ABC\backsim \text{Δ}HBA$.

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) và \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) nên đoạn thẳng \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

Suy ra đường thẳng \(MN\,{\rm{//}}\,AC\).

Lại có \(AC \bot AB\) nên \(MN \bot AB\), do đó \(IN \bot AB\) tại điểm \(N\).

Xét \({\rm{\Delta }}INB\) và \({\rm{\Delta }}IBM\) có:

\(\widehat {INB} = \widehat {IBM} = 90^\circ \);

\(\widehat {NIB}\) là góc chung.

Do đó $\text{Δ}INB\backsim \text{Δ}IBM$ (g.g)

Suy ra \(\frac{{IN}}{{IB}} = \frac{{IB}}{{IM}}\) suy ra \(I{B^2} = IM \cdot IN\).

c)

Gọi điểm \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(CA\) và đường thẳng \(BI\).

Vì \(IN\,{\rm{//}}\,AC\) và ba điểm \(A,\,\,K,\,\,C\) thẳng hàng nên đường thẳng \(IN\,{\rm{//}}\,AK\).

Trong tam giác \(ABK\), \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), \(I\) thuộc đoạn thẳng \(BK\) và đường thẳng \(NI\,{\rm{//}}\,AK\), suy ra điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BK\).

Do đó \(IB = IK\).

Mặt khác, vì \(AH \bot BC\) và \(BK \bot BC\) nên \(AH\,{\rm{//}}\,BK\).

Do điểm \(O\) là giao điểm của đường thẳng \(IC\) và đoạn thẳng \(AH\) nên ta có:

\(OA\,{\rm{//}}\,KI\) suy ra $\Delta COA\backsim \Delta CIK$ suy ra \(\frac{{OA}}{{IK}} = \frac{{CO}}{{CI}}\) (1).

\(OH\,{\rm{//}}\,BI\) suy ra $\Delta CHO\backsim \Delta CBI$ suy ra \(\frac{{OH}}{{IB}} = \frac{{CO}}{{CI}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{OA}}{{IK}} = \frac{{OH}}{{IB}}\).

Vì \(IK = IB\) nên \(OA = OH\), do đó điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AH\).