Người ta thiết kế một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật không nắp từ một tấm bìa các-tông (như hình vẽ). Chiếc hộp có đáy là hình vuông cạnh \(x\) (cm), chiều cao \(h\) (cm) và thể tích bằng \(4000\) cm³. Tìm độ dài cạnh đáy \(x\) sao cho diện tích tấm bìa các-tông dùng để làm chiếc hộp là nhỏ nhất (coi độ dày của bìa và phần diện tích các mép dán là không đáng kể).

Thể tích chiếc hộp hình hộp chữ nhật không nắp là:

\(V = {x^2}h = 4000\) suy ra \(h = \frac{{4000}}{{{x^2}}}\) (với \({\rm{\;}}x > 0,\,\,h > 0\)).

Diện tích tấm bìa các-tông dùng để làm hộp là tổng diện tích một đáy hình vuông và bốn mặt bên:

\(S = {x^2} + 4xh = {x^2} + 4x \cdot \frac{{4000}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{{16000}}{x} = {x^2} + \frac{{8000}}{x} + \frac{{8000}}{x}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \({x^2},\,\,\frac{{8000}}{x},\,\,\frac{{8000}}{x}\):

\(S \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot \frac{{8000}}{x} \cdot \frac{{8000}}{x}}} = 3 \cdot \sqrt[3]{{64000000}} = 3 \cdot 400 = 1200\) (cm²).

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

\({x^2} = \frac{{8000}}{x}\) suy ra \({x^3} = 8000\) suy ra \(x = 20\) (cm) (thỏa mãn).

Khi đó chiều cao \(h = \frac{{4000}}{{{{20}^2}}} = 10\) (cm) (thỏa mãn).

Vậy độ dài cạnh đáy \(x\) để diện tích tấm bìa nhỏ nhất là \(x = 20\) cm.

*Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương \(a,b,c > 0\):

\(\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\) suy ra \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\).

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Chứng minh:

Đặt \(x = \sqrt[3]{a}\), \(y = \sqrt[3]{b}\), \(z = \sqrt[3]{c}\). Vì \(a,\,\,b,\,\,c > 0\) nên \(x,\,\,y,\,\,z > 0\).

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

                       \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)

Xét biểu thức \(P = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\):

\(P = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz\)

\(P = \left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} + {z^3}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)\)

\(P = \left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)\)

\(P = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right)\)

\(P = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)

Nhân thêm 2 vào trong ngoặc để tạo thành tổng các bình phương:

\(P = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right]\)

\(P = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\)

Vì \(x,\,\,y,\,\,z > 0\) nên \(x + y + z > 0\).

Các bình phương \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {y - z} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\,\,y,\,\,z\).

Do đó:

\(P = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0\)

Suy ra \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0\) suy ra \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\).

Thay lại \(x = \sqrt[3]{a}\), \(y = \sqrt[3]{b}\), \(z = \sqrt[3]{c}\), ta được:

\(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) suy ra \(\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\).

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi \(x - y = y - z = z - x = 0\) suy ra \(x = y = z\) hay \(a = b = c\).