Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\), đường cao \(AH\) \(\left( {H \in BC} \right)\).

a) Chứng minh \({\rm{\Delta }}ABC\) đồng dạng với \({\rm{\Delta }}HBA\).

b) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) và đoạn thẳng \(AB\), từ điểm \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(BC\) cắt \(MN\) kéo dài tại điểm \(I\). Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) song song với đường thẳng \(AC\) và \(I{B^2} = IM \cdot IN\).

c) Gọi \(O\) là giao điểm của đường thẳng \(IC\) và đường thẳng \(AH\). Chứng minh rằng \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AH\).

Gọi \(AB\) là chiếc thang, \(AC\) là khoảng cách từ chân thang đến chân tường. Khi đó, tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), \(AB = 3,5\) m và \(\widehat {BAC} = 65^\circ \)

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) ta có:

\(AC = AB \cdot \cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = 3,5 \cdot \cos \left( {65^\circ } \right) \approx 1,48\) (m).

Vậy khoảng cách từ chân thang \(A\) đến chân tường \(C\) khoảng \(1,48\) m.

b) Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) ta có:

\(\cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{1,2}}{{3,5}} = \frac{{12}}{{35}}\) suy ra \(\widehat {BAC} \approx 70^\circ \).

Vậy góc tạo bởi thang và mặt đất lúc này xấp xỉ \(70^\circ \).

Với \(x \ne 0;\,\,x \ne 1;\,\,x \ne  - 1\).

1. Thay \(x = 3\) (thỏa mãn) vào biểu thức \(A\) ta được: \(A = \frac{{2 \cdot 3 + 5}}{3} = \frac{{11}}{3}\).

Vậy khi \(x = 3\) thì \(A = \frac{{11}}{3}\).

2. Ta có:

\(B = \frac{x}{{x - 1}} - \frac{2}{{x + 1}} - \frac{2}{{{x^2} - 1}}\)

\(B = \frac{{x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right) - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{{x^2} + x - 2x + 2 - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{{x^2} - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{x}{{x + 1}}\).

3. Ta có: \(P = A \cdot B = \frac{{2x + 5}}{x} \cdot \frac{x}{{x + 1}} = \frac{{2x + 5}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) + 3}}{{x + 1}} = 2 + \frac{3}{{x + 1}}\).

Với \(x \in \mathbb{Z}\), để biểu thức \(P\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 1\) phải là ước của \(3\).

Do đó \(x + 1 \in \left\{ { - 3;\,\, - 1;\,\,1;\,\,3} \right\}\), suy ra \(x \in \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,0;\,\,2} \right\}\).

Kết hợp điều kiện xác định \(x \ne 0\) và \(x \ne  \pm 1\), ta loại \(x = 0\) và nhận \(x \in \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,2} \right\}\).

Vậy tất cả các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn là \(x \in \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,2} \right\}\).