Một hộp có \(30\) quả bóng được đánh số từ \(1\) đến \(30\), đồng thời các quả bóng từ \(1\) đến \(10\) được sơn màu cam và các quả bóng còn lại được sơn màu xanh; các quả bóng có kích cỡ và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Tính xác suất của biến cố sau: “Quả bóng được lấy ra được sơn màu xanh và ghi số chia hết cho \(3\)”.

a) Xét \({\rm{\Delta }}DAH\) và \({\rm{\Delta }}HAC\) có:

\(\widehat {ADH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \);

\(\widehat {DAH} = \widehat {HAC}\) (góc chung).

Do đó $\text{Δ}DAH\backsim \text{Δ}HAC$ (g.g).

b) Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat {ADH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \);

\(\widehat {AHD} = \widehat {ACH}\) (cùng phụ với \(\widehat {DHC}\)).

Do đó, $\Delta ADH\backsim \Delta AHC$ (g.g) suy ra \(\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(A{H^2} = AD \cdot AC\) (1).

             Chứng minh tương tự, ta cũng có \(A{H^2} = BH \cdot HC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AD \cdot AC = BH \cdot HC\).

c)

⦁ Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(HD\):

Vì \(HD \bot AC\) và \(AB \bot AC\) nên \(HD\,{\rm{//}}\,AB\). Do đó, \(HI\,{\rm{//}}\,BO\) và \(ID\,{\rm{//}}\,AO\).

Vì \(HI\,{\rm{//}}\,BO\) nên . Do đó, \(\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{{HI}}{{BO}}\) (3).

Vì \(ID\,{\rm{//}}\,AO\) nên . Do đó, \(\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{{ID}}{{OA}}\) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{HI}}{{BO}} = \frac{{ID}}{{OA}}\).

Lại có\(O\) là trung điểm của \(AB\) nên \(OA = OB = \frac{1}{2}AB\). Do đó, \(HI = ID\).

Mà \(I \in HD\) nên \(I\) là trung điểm của \(HD\).

⦁ Chứng minh \(B,K,D\) thẳng hàng:

Gọi \(K'\) là giao điểm của \(BD\) và \(AH\). Vì \(HD\,{\rm{//}}\,AB\) nên ta có:

              suy ra \(\frac{{K'H}}{{K'A}} = \frac{{HD}}{{AB}}\).

Mặt khác, \(HI\,{\rm{//}}\,AO\), \(H,\,\,K,\,\,A\) thẳng hàng và \(I,\,\,K,\,\,O\) thẳng hàng nên:

                suy ra \(\frac{{KH}}{{KA}} = \frac{{HI}}{{AO}}\).

Do \(HI = \frac{{HD}}{2}\) và \(AO = \frac{{AB}}{2}\), suy ra: \(\frac{{KH}}{{KA}} = \frac{{HD}}{{AB}} = \frac{{K'H}}{{K'A}}\).

Vì \(K,\,\,K'\) cùng nằm trong đoạn \(AH\), suy ra \(K \equiv K'\). Vậy \(B,\,\,K,\,\,D\) thẳng hàng.

Gọi số phút gọi nội mạng là \(x\), ngoại mạng là \(y\) \(\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R},\,\,0 < x,\,\,y < 500} \right)\).

Theo đề bài ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\1190x + 1390y = 635\,000\end{array} \right.\].

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \(1190\), ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1190x + 1190y = 595\,000}\\{1190x + 1390y = 635\,000}\end{array}} \right.\).

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất trong hệ, ta thu được:

\(200y = 40\,000\) suy ra \(y = 200\) (thỏa mãn).

Thay giá trị \(y = 200\) vào phương trình \(x + y = 500\), ta có:

\(x + 200 = 500\) suy ra \(x = 500 - 200 = 300\) (thỏa mãn).

Vậy cô Bình đã gọi \(300\) phút nội mạng và \(200\) phút ngoại mạng.