Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {x + 20} \right)\left( {y - 1} \right) = xy}\\{\left( {x - 10} \right)\left( {y + 1} \right) = xy}\end{array}} \right.\).

a) Xét \({\rm{\Delta }}DAH\) và \({\rm{\Delta }}HAC\) có:

\(\widehat {ADH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \);

\(\widehat {DAH} = \widehat {HAC}\) (góc chung).

Do đó $\text{Δ}DAH\backsim \text{Δ}HAC$ (g.g).

b) Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat {ADH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \);

\(\widehat {AHD} = \widehat {ACH}\) (cùng phụ với \(\widehat {DHC}\)).

Do đó, $\Delta ADH\backsim \Delta AHC$ (g.g) suy ra \(\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(A{H^2} = AD \cdot AC\) (1).

             Chứng minh tương tự, ta cũng có \(A{H^2} = BH \cdot HC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AD \cdot AC = BH \cdot HC\).

c)

⦁ Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(HD\):

Vì \(HD \bot AC\) và \(AB \bot AC\) nên \(HD\,{\rm{//}}\,AB\). Do đó, \(HI\,{\rm{//}}\,BO\) và \(ID\,{\rm{//}}\,AO\).

Vì \(HI\,{\rm{//}}\,BO\) nên . Do đó, \(\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{{HI}}{{BO}}\) (3).

Vì \(ID\,{\rm{//}}\,AO\) nên . Do đó, \(\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{{ID}}{{OA}}\) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{HI}}{{BO}} = \frac{{ID}}{{OA}}\).

Lại có\(O\) là trung điểm của \(AB\) nên \(OA = OB = \frac{1}{2}AB\). Do đó, \(HI = ID\).

Mà \(I \in HD\) nên \(I\) là trung điểm của \(HD\).

⦁ Chứng minh \(B,K,D\) thẳng hàng:

Gọi \(K'\) là giao điểm của \(BD\) và \(AH\). Vì \(HD\,{\rm{//}}\,AB\) nên ta có:

              suy ra \(\frac{{K'H}}{{K'A}} = \frac{{HD}}{{AB}}\).

Mặt khác, \(HI\,{\rm{//}}\,AO\), \(H,\,\,K,\,\,A\) thẳng hàng và \(I,\,\,K,\,\,O\) thẳng hàng nên:

                suy ra \(\frac{{KH}}{{KA}} = \frac{{HI}}{{AO}}\).

Do \(HI = \frac{{HD}}{2}\) và \(AO = \frac{{AB}}{2}\), suy ra: \(\frac{{KH}}{{KA}} = \frac{{HD}}{{AB}} = \frac{{K'H}}{{K'A}}\).

Vì \(K,\,\,K'\) cùng nằm trong đoạn \(AH\), suy ra \(K \equiv K'\). Vậy \(B,\,\,K,\,\,D\) thẳng hàng.

Số kết quả có thể xảy ra: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 30.\) Các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

Các quả bóng màu xanh được đánh số từ \(11\) đến \(30\).

Các số từ \(11\) đến \(30\) chia hết cho \(3\) gồm: \(\left\{ {12;\,\,15;\,\,18;\,\,21;\,\,24;\,\,27;\,\,30} \right\}\).

Do đó có \(7\) kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố là: \(P = \frac{7}{{30}}\).