Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{5x - 3}}{{x - 1}}\) và \(B = \frac{x}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}\) với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 1\).

1. Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 5\).

2. Chứng minh rằng \(B = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).

3. Cho \(P = AB\). Tìm \(x\) nguyên để \(P\) nhận giá trị nguyên nhỏ nhất.

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng định lý Pythagore ta có:

\(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}}  = 9\) cm.

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \);

\(\widehat {B\,}\) là góc chung.

Do đó, $\text{Δ}AHB\backsim \text{Δ}CAB$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CA}} = \frac{{AB}}{{CB}}\) suy ra \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{9 \cdot 12}}{{15}} = 7,2\) cm.

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = 0,8\) suy ra \(\widehat {ABC} \approx 53^\circ 8'\).

b) Xét \({\rm{\Delta }}AHC\) và \({\rm{\Delta }}BAC\) có:

                   \(\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \);

\(\widehat {C\,}\) là góc chung.

Do đó, $\text{Δ}AHC\backsim \text{Δ}BAC$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) suy ra \(A{C^2} = CH \cdot CB\).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), áp dụng hệ thức cạnh và góc ta có:

\(AH = AB \cdot \sin B\).

Xét tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\), áp dụng hệ thức cạnh và góc ta có:

\(AH = AC \cdot \sin C\).

Từ đó suy ra \(AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C\).

c)

Do \(AH \bot BC\) nên góc \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì \(HD\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AHB}\) nên \(\widehat {AHD} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta HED\) vuông tại \(E\), có \(\widehat {EHD} = 45^\circ \) nên \(\Delta HED\) vuông cân tại \(E\).

Suy ra \(ED = EH\) và \(DH = \sqrt {E{D^2} + E{H^2}}  = ED\sqrt 2 \) suy ra \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{ED}}\).

Ta có đường thẳng \(DE \bot AH\) và đường thẳng \(BH \bot AH\) nên \(DE\,{\rm{//}}\,BH\).

Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác \(ABH\) với \(DE\,{\rm{//}}\,BH\) ta có: \(\frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{AE}}{{AH}}\).

Mặt khác, do \(DE = EH\) nên: \(\frac{{DE}}{{AH}} = \frac{{EH}}{{AH}}\).

Cộng từng vế hai đẳng thức ta được:

\(\frac{{DE}}{{AH}} + \frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{EH}}{{AH}} + \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AH}} = 1\).

Chia cả hai vế cho \(DE\) ta được: \(\frac{1}{{AH}} + \frac{1}{{BH}} = \frac{1}{{ED}}\).

Do đó: \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{AH}} + \frac{1}{{BH}}\) (1).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

\(\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(AH = AB \cdot \cos \widehat {BAH}\).

\(\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}}\) suy ra \(BH = AB \cdot \cos \widehat {ABH}\).

Thay vào (1) ta được: \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{AB \cdot \cos \widehat {BAH}}} + \frac{1}{{AB \cdot \cos \widehat {ABH}}}\).

Gọi chiều dài của thang là đoạn thẳng \(AB = 2,5{\rm{ m}}\).

Khoảng cách từ chân thang đến chân tường là đoạn thẳng \(BC = 1,1{\rm{ m}}\).

Góc nghiêng tạo bởi thang và mặt đất là góc \(\widehat {ABC}\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

\(\cos \widehat {ABC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1,1}}{{2,5}} = 0,44\) suy ra \(\widehat {ABC} \approx 63^\circ 54'\).

Vì \(60^\circ  < 63^\circ 54' < 75^\circ \) nên thang được đặt đảm bảo an toàn.