Bác An có 1,2 tỷ đồng, bác chia số tiền này thành hai phần để gửi tiết kiệm vào hai ngân hàng \(A\) và \(B\) với kỳ hạn 1 năm. Biết lãi suất của ngân hàng \(A\) là \(x\% \)/năm, của ngân hàng \(B\) là \(y\% \)/năm. Sau một năm, tổng số tiền lãi bác An thu được từ cả hai ngân hàng là 80 triệu đồng. Bác An nhẩm tính thêm:

⦁ Nếu bác gửi toàn bộ 1,2 tỷ đồng vào ngân hàng \(A\) thì tiền lãi thu được sẽ nhiều hơn 12 triệu đồng so với việc gửi toàn bộ vào ngân hàng \(B\).

⦁ Nếu bác “hoán đổi” số tiền gửi lúc đầu (lấy tiền gửi ở \(A\) mang sang \(B\), và tiền gửi ở \(B\) mang sang \(A\)) thì sau 1 năm, tổng tiền lãi thu được chỉ là 76 triệu đồng.

Hãy tìm lãi suất \(x\), \(y\) và số tiền gốc bác An đã gửi ở mỗi ngân hàng lúc ban đầu.

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng định lý Pythagore ta có:

\(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}}  = 9\) cm.

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \);

\(\widehat {B\,}\) là góc chung.

Do đó, $\text{Δ}AHB\backsim \text{Δ}CAB$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CA}} = \frac{{AB}}{{CB}}\) suy ra \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{9 \cdot 12}}{{15}} = 7,2\) cm.

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = 0,8\) suy ra \(\widehat {ABC} \approx 53^\circ 8'\).

b) Xét \({\rm{\Delta }}AHC\) và \({\rm{\Delta }}BAC\) có:

                   \(\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \);

\(\widehat {C\,}\) là góc chung.

Do đó, $\text{Δ}AHC\backsim \text{Δ}BAC$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) suy ra \(A{C^2} = CH \cdot CB\).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), áp dụng hệ thức cạnh và góc ta có:

\(AH = AB \cdot \sin B\).

Xét tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\), áp dụng hệ thức cạnh và góc ta có:

\(AH = AC \cdot \sin C\).

Từ đó suy ra \(AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C\).

c)

Do \(AH \bot BC\) nên góc \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì \(HD\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AHB}\) nên \(\widehat {AHD} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta HED\) vuông tại \(E\), có \(\widehat {EHD} = 45^\circ \) nên \(\Delta HED\) vuông cân tại \(E\).

Suy ra \(ED = EH\) và \(DH = \sqrt {E{D^2} + E{H^2}}  = ED\sqrt 2 \) suy ra \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{ED}}\).

Ta có đường thẳng \(DE \bot AH\) và đường thẳng \(BH \bot AH\) nên \(DE\,{\rm{//}}\,BH\).

Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác \(ABH\) với \(DE\,{\rm{//}}\,BH\) ta có: \(\frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{AE}}{{AH}}\).

Mặt khác, do \(DE = EH\) nên: \(\frac{{DE}}{{AH}} = \frac{{EH}}{{AH}}\).

Cộng từng vế hai đẳng thức ta được:

\(\frac{{DE}}{{AH}} + \frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{EH}}{{AH}} + \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AH}} = 1\).

Chia cả hai vế cho \(DE\) ta được: \(\frac{1}{{AH}} + \frac{1}{{BH}} = \frac{1}{{ED}}\).

Do đó: \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{AH}} + \frac{1}{{BH}}\) (1).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

\(\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(AH = AB \cdot \cos \widehat {BAH}\).

\(\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}}\) suy ra \(BH = AB \cdot \cos \widehat {ABH}\).

Thay vào (1) ta được: \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{AB \cdot \cos \widehat {BAH}}} + \frac{1}{{AB \cdot \cos \widehat {ABH}}}\).

Đổi \(1\) giờ \(40\) phút \( = \frac{5}{3}\) giờ.

Gọi vận tốc của xe đạp là \(x\) (km/h), điều kiện \(x > 0\).

Vận tốc của xe máy là \(x + 15\) (km/h).

Sau \(\frac{5}{3}\) giờ hai xe gặp nhau, tổng quãng đường hai xe đi được là \(85\) km.

Do đó ta có phương trình:

\(\frac{5}{3}\left( {x + x + 15} \right) = 85\)

\(2x + 15 = 51\)

\(2x = 36\)

\(x = 18\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc của xe đạp là \(18\) km/h, vận tốc của xe máy là \(18 + 5 = 33\) km/h.