Hai bạn An và Hải đến một nhà sách để mua bút và vở. Bạn An mua 3 chiếc bút và 8 quyển vở với tổng số tiền là 172 nghìn đồng. Bạn Hải mua 6 chiếc bút và 7 quyển vở với tổng số tiền là 164 nghìn đồng. Tính giá bán của mỗi chiếc bút và của mỗi quyển vở, biết rằng hai bạn An và Hải mua cùng loại bút và vở.

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng định lý Pythagore ta có:

\(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}}  = 9\) cm.

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \);

\(\widehat {B\,}\) là góc chung.

Do đó, $\text{Δ}AHB\backsim \text{Δ}CAB$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CA}} = \frac{{AB}}{{CB}}\) suy ra \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{9 \cdot 12}}{{15}} = 7,2\) cm.

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = 0,8\) suy ra \(\widehat {ABC} \approx 53^\circ 8'\).

b) Xét \({\rm{\Delta }}AHC\) và \({\rm{\Delta }}BAC\) có:

                   \(\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \);

\(\widehat {C\,}\) là góc chung.

Do đó, $\text{Δ}AHC\backsim \text{Δ}BAC$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) suy ra \(A{C^2} = CH \cdot CB\).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), áp dụng hệ thức cạnh và góc ta có:

\(AH = AB \cdot \sin B\).

Xét tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\), áp dụng hệ thức cạnh và góc ta có:

\(AH = AC \cdot \sin C\).

Từ đó suy ra \(AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C\).

c)

Do \(AH \bot BC\) nên góc \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì \(HD\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AHB}\) nên \(\widehat {AHD} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta HED\) vuông tại \(E\), có \(\widehat {EHD} = 45^\circ \) nên \(\Delta HED\) vuông cân tại \(E\).

Suy ra \(ED = EH\) và \(DH = \sqrt {E{D^2} + E{H^2}}  = ED\sqrt 2 \) suy ra \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{ED}}\).

Ta có đường thẳng \(DE \bot AH\) và đường thẳng \(BH \bot AH\) nên \(DE\,{\rm{//}}\,BH\).

Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác \(ABH\) với \(DE\,{\rm{//}}\,BH\) ta có: \(\frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{AE}}{{AH}}\).

Mặt khác, do \(DE = EH\) nên: \(\frac{{DE}}{{AH}} = \frac{{EH}}{{AH}}\).

Cộng từng vế hai đẳng thức ta được:

\(\frac{{DE}}{{AH}} + \frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{EH}}{{AH}} + \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AH}} = 1\).

Chia cả hai vế cho \(DE\) ta được: \(\frac{1}{{AH}} + \frac{1}{{BH}} = \frac{1}{{ED}}\).

Do đó: \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{AH}} + \frac{1}{{BH}}\) (1).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

\(\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(AH = AB \cdot \cos \widehat {BAH}\).

\(\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}}\) suy ra \(BH = AB \cdot \cos \widehat {ABH}\).

Thay vào (1) ta được: \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{AB \cdot \cos \widehat {BAH}}} + \frac{1}{{AB \cdot \cos \widehat {ABH}}}\).

Đổi \(1\) giờ \(40\) phút \( = \frac{5}{3}\) giờ.

Gọi vận tốc của xe đạp là \(x\) (km/h), điều kiện \(x > 0\).

Vận tốc của xe máy là \(x + 15\) (km/h).

Sau \(\frac{5}{3}\) giờ hai xe gặp nhau, tổng quãng đường hai xe đi được là \(85\) km.

Do đó ta có phương trình:

\(\frac{5}{3}\left( {x + x + 15} \right) = 85\)

\(2x + 15 = 51\)

\(2x = 36\)

\(x = 18\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc của xe đạp là \(18\) km/h, vận tốc của xe máy là \(18 + 5 = 33\) km/h.