Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) \[{\left( {x - 4} \right)^2} = \left( {4 - x} \right) \cdot \left( {8 - 7x} \right)\].

b) \(\frac{{x + 2}}{{2x + 3}} + \frac{{5 - 3x}}{{2 - x}} = \frac{{3{x^2} - 7x - 19}}{{2x\left( {x - 2} \right) + 3x - 6}}\).

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{4}{{\left| {x + 1} \right|}} - \frac{7}{{x - y + 3}} = 9}\\{\frac{5}{{\left| {x + 1} \right|}} + \frac{2}{{x - y + 3}} = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

a) \({\left( {x - 4} \right)^2} = \left( {4 - x} \right)\left( {8 - 7x} \right)\)

\({\left( {x - 4} \right)^2} - \left( {x - 4} \right)\left( {7x - 8} \right) = 0\)

\(\left( {x - 4} \right)\left( {x - 4 - 7x + 8} \right) = 0\)

\(\left( {x - 4} \right)\left( {4 - 6x} \right) = 0\)

\(x = 4\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4\) và \(x = \frac{2}{3}\).

b) Ta có: \(2x\left( {x - 2} \right) + 3x - 6 = 2x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3} \right)\).

ĐKXĐ: \(x \ne  - \frac{3}{2}\); \(x \ne 2\).

Phương trình trở thành \(\frac{{x + 2}}{{2x + 3}} + \frac{{3x - 5}}{{x - 2}} = \frac{{3{x^2} - 7x - 19}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}}\).

Quy đồng và khử mẫu ta được:

\(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {3x - 5} \right)\left( {2x + 3} \right) = 3{x^2} - 7x - 19\)

\({x^2} - 4 + 6{x^2} - x - 15 = 3{x^2} - 7x - 19\)

\(4{x^2} + 6x = 0\)

\(2x\left( {2x + 3} \right) = 0\)

\(x = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(x =  - \frac{3}{2}\) (loại).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 0\).

c) Điều kiện: \(x \ne  - 1\); \(x - y + 3 \ne 0\).

Đặt \(u = \frac{1}{{\left| {x + 1} \right|}}\), \(v = \frac{1}{{x - y + 3}}\) (\(u > 0\), \(v \ne 0\)).

Hệ trở thành: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4u - 7v = 9}\\{5u + 2v = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\),

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(2\) và nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(7\), ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8u - 14v = 18}\\{35u + 14v = \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\).

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được \(43u = \frac{{43}}{2}\) hay \(u = \frac{1}{2}\).

Thế \(u = \frac{1}{2}\) vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có \(4 \cdot \frac{1}{2} - 7v = 9\), hay \(2 - 7v = 9\), suy ra \(v =  - 1\).

Từ \(u = \frac{1}{2}\), ta có

\(\frac{1}{{\left| {x + 1} \right|}} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\left| {x + 1} \right| = 2\) suy ra \(x = 1\) hoặc \(x =  - 3\).

Từ \(v =  - 1\), ta có

\(\frac{1}{{x - y + 3}} =  - 1\) suy ra \(x - y + 3 =  - 1\) suy ra \(y = x + 4\).

Với \(x = 1\) thì \(y = 1 + 4 = 5\).

Với \(x =  - 3\) thì \(y =  - 3 + 4 = 1\).

Do đó, hệ có hai nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\,\,5} \right)\) hoặc \({\rm{\;}}\left( {x;\,\,y} \right) = \left( { - 3;\,\,1} \right)\).