Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3; \ldots ;12} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên \(4\) số phân biệt từ tập \(X\). Trong \(4\) số được chọn, ta đặt \(1\) số vào vòng tròn lớn ở chính giữa, \(3\) số còn lại được đặt vào ba vòng tròn nhỏ xung quanh (biết rằng ba vòng tròn nhỏ này không phân biệt vị trí). Gọi \(P\) là xác suất để các số được đặt thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

Ba số ở ba vòng tròn nhỏ có thể sắp xếp thành một cấp số cộng tăng. Số ở vòng tròn lớn chính giữa bằng tổng của cả ba số ở ba vòng tròn nhỏ.

Tính giá trị của biểu thức \(33990P\).

Diện tích phần sáng sau mỗi lần thực hiện. Gọi \({S_k}\) là diện tích phần còn sáng sau lần thực hiện thứ \(k\); quy ước \({S_0} = 1\) m2.

Ở mỗi lần thực hiện, mỗi ô sáng được chia thành 9 ô bằng nhau và bị phủ sẫm đúng 1 ô, nên phần sáng còn lại bằng \(\frac{8}{9}\) phần sáng trước đó:

  \({S_k} = \frac{8}{9}{S_{k - 1}}\,\,\left( {k = 1;\,\,2; \ldots ;\,\,5} \right)\).

     Dãy \(\left( {{S_k}} \right)\) là một cấp số nhân với \({S_0} = 1\) và công bội \(q = \frac{8}{9}\), do đó \({S_5} = {\left( {\frac{8}{9}} \right)^5} = \frac{{32768}}{{59049}}\).

Diện tích phần được phủ. Tổng diện tích đã phủ vật liệu cảm biến sẫm màu là

\(S = {S_0} - {S_5} = 1 - {\left( {\frac{8}{9}} \right)^5} = \frac{{26281}}{{59049}} \approx 0,445.\)

     Làm tròn đến hàng phần trăm được \(0,45\) m2.

Đáp án: 0,45.

Theo hình vẽ, ở mỗi góc của tấm vuông, phần bị cắt bỏ được giới hạn bởi hai điểm nằm trên hai cạnh kề và cách đỉnh góc đó \(1\) dm.

Do đó mỗi mép ngoài của khay có độ dài \(8 - 2 \cdot 1 = 6\) (dm).

Vậy khay là hình chóp cụt đều \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy nhỏ \(ABCD\) cạnh \(3{\rm{\;dm}}\) và đáy lớn (miệng khay) \(A'B'C'D'\) cạnh \(6\) dm.

Trung đoạn của mặt bên. Mỗi mặt bên là một hình thang cân; trên tấm phẳng, khoảng cách giữa hai đáy \(DC\) và \(D'C'\) của hình thang bằng \(\frac{{8 - 3}}{2} = 2,5\) (dm).

Gọi \(M,\,\,M'\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(A'B'\), khi đó \(MM' = 2,5\) dm.

Tính chiều cao. Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là tâm của hai hình vuông \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\).

Khi đó \(OO'\) vuông góc với hai mặt đáy và \(OO'\) chính là chiều cao \(h\) của khay.

\(OM = \frac{{AB}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\) (dm) và \(O'M' = \frac{{A'B'}}{2} = \frac{6}{2} = 3\) (dm).

 Tứ giác \(OMM'O'\) là hình thang vuông tại \(O\) và \(O'\).

Hạ đường vuông góc, ta được tam giác vuông có cạnh huyền \(MM'\) và hai cạnh góc vuông là \(OO'\) và \(O'M' - OM\). Do đó:

\(h = OO' = \sqrt {M{{M'}^2} - {{\left( {O'M' - OM} \right)}^2}}  = \sqrt {{{2,5}^2} - {{1,5}^2}}  = \sqrt 4  = 2\) (dm).

 Đáp án: 2.