PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ.

 

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đáp án: 10,9.

Ta có 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) là \(x = 1,y = 1.\)

Kẻ đường thẳng \({d_1}\) sao cho \({d_1}\) là đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\).

Suy ra \({d_1}\) là trục đối xứng của đồ thị và hình vuông.

Khi đó ta có hình vẽ bên.

Suy ra \(2d\left( {A,{d_1}} \right) = d(A,d).\)

Để tìm khoảng cách từ \(A\) đến \({d_1}\), ta cần tìm được phương trình đường thẳng \({d_1}\).

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận \(x = 1,y = 1 \Rightarrow I\left( {1\,;1} \right)\).

Xét tam giác vuông IPQ, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IP = IQ = 1}\\{\widehat {PIH} = \widehat {HIQ} = 45^\circ }\end{array}} \right.\) (vì \(IH \in {d_1}\) là đường phân giác của \(\widehat {PIQ}\)).

Suy ra \(IH \bot PQ\) hay \({d_1} \bot d\).

Ta có \(d:y = - x + 1\) hay \(d:x + y - 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1\,;1} \right)\).

Vì \({d_1} \bot d\) nên tích vô hướng của 2 vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) và \(d\) bằng 0 suy ra vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) là \({\vec n_1} = \left( { - 1;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(I\left( {1\,;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left( { - 1;1} \right)\) có phương trình là \({d_1}: - x + y = 0.\)

Vì \(A \in \left( C \right) \Rightarrow A\left( {x;\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right).\)

Ta có \(2d\left( {A,{d_1}} \right) = d(A,d) \Leftrightarrow 2\frac{{\left| { - x + \frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {x + \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)\( \Leftrightarrow 2\left| { - {x^2} + 2x + 1} \right| = \left| {{x^2} - x + 2} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\left( { - {x^2} + 2x + 1} \right) = {x^2} - x + 2\\2\left( { - {x^2} + 2x + 1} \right) = - {x^2} + x - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} - 5x = 0\\{x^2} - 3x - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{5}{3}\\x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\). Suy ra \(x = \frac{5}{3} \Rightarrow AD = \frac{{7\sqrt 2 }}{3}\).

Suy ra diện tích mặt sàn nổi hình vuông là \(S = {\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \frac{{98}}{9} \approx 10,9.\)

Đáp án: 20,7.

Ta có hình vẽ trên thể hiện mặt cắt của đồng hồ cát qua tâm hình trụ theo phương thẳng đứng của chiều cao.

Ta có \(OF = 4,OE = h.\)

Vì ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng \(\frac{2}{3}\) chiều cao của bên đó nên \(OD = \frac{3}{2}h.\)

\( \Rightarrow \) Chiều cao của khối trụ bên ngoài là \(DK = 2OD = 3h.\)

Vì khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi bằng \(8\pi \;\,{\rm{cm}}\).

\( \Rightarrow 2\pi \cdot AF = 8\pi \Rightarrow AF = 4 \Rightarrow A\left( { - 4\,;\,4} \right),B\left( {4\,;4} \right)\).

Parabol đi qua gốc tọa độ \(O\) và 2 điểm A, B có dạng \(y = a{x^2}\quad \left( P \right).\)

Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình parabol \(\left( P \right)\) ta được:

\(a = \frac{1}{4} \Rightarrow y = \frac{{{x^2}}}{4}.\)

Cát chảy từ trên xuống với tốc độ \(v\left( t \right) = 0,2t + 13\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{/}}\)phút) và sau 20 phút thì các chảy hết xuống phía dưới đồng hồ nên ta có thể tích cát ban đầu dồn hết ở phần trên của đồng hồ là

\(V = \int\limits_0^{20} {\left( {0,2t + 13} \right)} \,{\rm{d}}t = 300\).

Thể tích giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):x = 2\sqrt y \), các đường thẳng \(y = 0,y = h\) khi quay quanh trục Oy chính là thể tích cát ban đầu dồn hết ở phần trên của đồng hồ nên ta có:

\(\pi \int\limits_0^h {{{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}{\rm{d}}y} = 300 \Rightarrow 2{h^2} = \frac{{300}}{\pi } \Rightarrow h = 5\sqrt {\frac{6}{\pi }} \)\( \Rightarrow DK = 15\sqrt {\frac{6}{\pi }} \approx 20,7\).