Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3\,;3} \right]\) và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình dưới đây.

 

Mệnh đề nào sau đây sai?

Đáp án: 0,95.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Gọi điểm \(A\) là gốc toạ độ \(O\left( {0\,;0\,;0} \right)\).

Ta có \(B\left( {2\,;0\,;0} \right),C\left( {2\,;2\,;0} \right),\,D\left( {0\,;2\,;\,0} \right),S\left( {0\,;0\,;1} \right)\).

\(M\left( {0\,;0\,;0,5} \right)\) là trung điểm của \(SA\);

\(N\left( {1\,;2\,;0} \right)\) là trung điểm của \(CD\).

Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {1\,;2\,; - 0,5} \right),\,\,\overrightarrow {SC} = \left( {2\,;2\,; - 1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {SC} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + \left( { - 0,5} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 6,5\);

\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 0,5} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{2};\,\,\left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 3\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(SC\), khi đó:

\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {SC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {SC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SC} } \right|}} = \frac{{6,5}}{{\frac{{\sqrt {21} }}{2} \cdot 3}} = \frac{{13\sqrt {21} }}{{63}} \approx 0,95\).

Đáp án: 50.

Giả sử \(H\left( {3 + 2t\,;t\,;1 + t} \right) \in {\Delta _1},K\left( {1 + t';2 + 2t';t'} \right) \in {\Delta _2}\), ta có \(\overrightarrow {HK} = \left( {t' - 2t - 2;2t' - t + 2;t' - t - 1} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1\,;1\,; - 2} \right)\).

Vì \(d \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {HK} \) nên \(\overrightarrow {{u_d}} \cdot \overrightarrow {HK} = 0\)

\( \Leftrightarrow t' - 2t - 2 + 2t' - t + 2 - 2\left( {t' - t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t' - t + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow t' = t - 2.{\rm{ }}\)

Suy ra \(\overrightarrow {HK} = \left( { - t - 4\,;t - 2\,; - 3} \right) \Rightarrow H{K^2} = {\left( {t + 4} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + 9\)

\( \Rightarrow H{K^2} = 2{t^2} + 4t + 29 = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27\).

Do đó \(H{K_{\min }} = 3\sqrt 3 \) khi \(t = - 1.\)

Khi đó \(\overrightarrow {HK} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right) = - \frac{3}{5}\left( {5\,;5\,;5} \right) = - \frac{3}{5}\overrightarrow u \).

Suy ra đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\vec u = \left( {5\,;5\,;5} \right)\) là một vectơ chỉ phương \( \Rightarrow h = k = 5.\)

Vậy \({h^2} + {k^2} = {5^2} + {5^2} = 50.\)